Examen de Álgebra UDL 2016 · parcial novembre 2016

Problema 1 (2 punts). Relació d'ordre en subconjunts d'enters consecutius

Sigui la família de subconjunts de nombres naturals $\mathcal{M} = \{A \subseteq \mathbb{N}: A = \{a, a+1, \dots, a+m\}, m \in \mathbb{N} \cup \{0\}\}$. En aquest conjunt es defineix la relació binària $R$ mitjançant:

$$A R B \iff a \le b \quad \text{i} \quad m \le n,$$

on $A = \{a, a+1, \dots, a+m\}$ i $B = \{b, b+1, \dots, b+n\}$.

a.

Demostreu que la relació $R$ compleix la propietat antisimètrica.

b.

Justifiqueu si es tracta d'una relació d'ordre total o bé d'ordre parcial.

c.

Trobeu explícitament els elements del conjunt $X = \{A \in \mathcal{M}: A R \{3,4\}\}$.

d.

Considereu el subconjunt $S \subseteq \mathcal{M}$ definit per:

$$S = \{\{3,4\}, \{4,5\}, \{5,6\}, \{4,5,6\}, \{3,4,5,6\}, \{5,6,7,8\}, \{3,4,5,6,7,8\}\}.$$

Representeu el seu diagrama de Hasse tot exposant el procediment emprat. A continuació, determineu els elements maximals, minimals, màxim, mínim, suprem i ínfim de $S$, si és que existeixen.

Problema 2 (2 punts). Estudi i composició d'aplicacions a $\mathbb{R}^2$

Es considera l'aplicació:

$$\begin{aligned} f: \mathbb{R}^2 &\longrightarrow \mathbb{R}^2 \\ (x, y) &\longmapsto (x + y, x^2) \end{aligned}$$

a)

Sigui el conjunt $X = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x = 1\}$. Calculeu la imatge directa $f(X)$:

b)

Determineu l'antiimatge $f^{-1}(0,1)$:

c)

Estudieu justificadament si $f$ és una aplicació injectiva:

Sí

No

d)

Estudieu justificadament si $f$ és una aplicació exhaustiva:

Sí

No

e)

Donada l'aplicació $g: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ definida per $g(x, y) = 3x + y^2$, calculeu la composició $g \circ f$ i discutiu si és possible definir la composició $f \circ g$:

Sí

No