Problema 2 · Álgebra UDL 2016

Tema: Aplicacions: injectivitat, exhaustivitat, composició i inversa · Del examen Examen parcial novembre 2016 (2016)

Enunciado

Problema 2 (2 punts). Estudi i composició d'aplicacions a R2\mathbb{R}^2

Es considera l'aplicació:

f:R2⟶R2(x,y)⟼(x+y,x2)\begin{aligned} f: \mathbb{R}^2 &\longrightarrow \mathbb{R}^2 \\ (x, y) &\longmapsto (x + y, x^2) \end{aligned}

a)

Sigui el conjunt X={(x,y)∈R2:x=1}X = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x = 1\}. Calculeu la imatge directa f(X)f(X):

b)

Determineu l'antiimatge f−1(0,1)f^{-1}(0,1):

c)

Estudieu justificadament si ff és una aplicació injectiva:

Sí

No

d)

Estudieu justificadament si ff és una aplicació exhaustiva:

Sí

No

e)

Donada l'aplicació g:R2⟶Rg: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R} definida per g(x,y)=3x+y2g(x, y) = 3x + y^2, calculeu la composició g∘fg \circ f i discutiu si és possible definir la composició f∘gf \circ g:

Sí

No

Enunciado: Problema 2 · Álgebra UDL 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Sigui el conjunt X = {(x, y) ∈ ℝ² : x = 1}. Calculeu la imatge directa f(X).

Solución: R×{1}\mathbb{R} \times \{1\} / y=1y = 1 / {(u,1)∈R2:u∈R}\{(u, 1) \in \mathbb{R}^2 : u \in \mathbb{R}\}

b) Determineu l'antiimatge f⁻¹(0,1).

Solución: {(1,−1),(−1,1)}\{(1, -1), (-1, 1)\}

c) Justificació de la injectivitat de f

Solución: L'aplicació no és injectiva perquè (1, -1) ≠ (-1, 1) i f(1, -1) = f(-1, 1) = (0, 1).

c) i d) Injectivitat i exhaustivitat de f

Solución: No és injectiva; No és exhaustiva

d) Justificació de l'exhaustivitat de f

Solución: L'aplicació no és exhaustiva perquè la segona component és x² ≥ 0, per tant cap punt amb segona coordenada negativa té antiimatge (per exemple f⁻¹(0, -1) = ∅).

e) Expressió de (g ∘ f)(x, y)

Solución: 3x+3y+x43x + 3y + x^4

e) És possible definir f ∘ g?

Solución: No

e) Justificació de si és possible definir f ∘ g

Solución: No existeix perquè el conjunt d'arribada de g és ℝ, que no coincideix ni està contingut en el domini de f (ℝ²).

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 2 - Aplicacions · 2017 · Problema 2 · 2015 ›

Más ejercicios de Aplicacions: injectivitat, exhaustivitat, composició i inversa