Problema 1 · Álgebra UDL 2016

a. Demostreu que la relació R compleix la propietat antisimètrica.

Solución: Siguin A, B ∈ M tals que ARB i BRA. Llavors a ≤ b i b ≤ a ⇒ a = b; d'altra banda m ≤ n i n ≤ m ⇒ m = n. Com que cada conjunt de M queda unívocament determinat pel seu primer element i la seva longitud menys un, A = B.

b. Justifiqueu si es tracta d'una relació d'ordre total o bé d'ordre parcial.

Solución: És una relació d'ordre parcial (no és total), ja que existeixen parelles d'elements incomparables.

c. Trobeu explícitament els elements del conjunt X = {A ∈ M : AR{3,4}}.

Solución: {{1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {3,4}}

d. Representeu el seu diagrama de Hasse tot exposant el procediment emprat.

Solución: Identifiquem cada element de S pel parell (a,m): {3,4} ≡ (3,1), {4,5} ≡ (4,1), {5,6} ≡ (5,1), {4,5,6} ≡ (4,2), {3,4,5,6} ≡ (3,3), {5,6,7,8} ≡ (5,3), {3,4,5,6,7,8} ≡ (3,5). Les relacions de cobertura immediata són: {3,4} cobrint {4,5} i {3,4,5,6}; {4,5} cobrint {5,6} i {4,5,6}; {5,6} cobrint {5,6,7,8}; {4,5,6} cobrint {5,6,7,8}; {3,4,5,6} cobrint {5,6,7,8} i {3,4,5,6,7,8}.

d. Elements minimals de S:

Solución: {{3,4}}

d. Mínim de S:

Solución: {3,4}

d. Elements maximals de S:

Solución: {{5,6,7,8}, {3,4,5,6,7,8}}

d. Màxim de S:

Solución: No existeix

d. Raoneu si existeix ínfim de S a M i quin és:

Solución: L'ínfim és {3,4}, ja que coincideix amb el mínim en pertànyer aquest a S.

d. Suprem de S a M:

Solución: {5,6,7,8,9,10}