Examen de Matemáticas Empresariales UDL 2016 · Prova d'Avaluació Continuada 2 (Gener 2016)

Un pastisser disposa de 50 kg de farina, 11 kg de sucre i 26 kg de mantega amb l'objectiu d'elaborar dues varietats de pastissos. Per produir una dotzena de pastissos del tipus A calen 1 kg de farina, 0,5 kg de sucre i 1 kg de mantega. En canvi, per a una dotzena del tipus B es requereixen 2 kg de farina, 0,25 kg de sucre i 1 kg de mantega. El guany derivat de la venda d'una dotzena del tipus A és de 30 u.m., mentre que pel tipus B s'obtenen 40 u.m. per dotzena.

A partir d'aquestes dades, responeu:

a.

[0,4 punts] Indiqueu la funció d'objectiu o de benefici del pastisser, definint les variables utilitzades.

b.

[0,5 punts] Formuleu el conjunt de restriccions lineals que delimiten el programa de maximització.

c.

[0,6 punts] Representeu gràficament la regió de solucions factibles i determineu les coordenades de tots els seus vèrtexs.

d.

[0,5 punts] Calculeu quantes dotzenes de pastissos de cada tipus ha de fabricar per obtenir el màxim benefici possible.

Un pastisser disposa de 50 kg de farina, 11 kg de sucre i 26 kg de mantega amb l'objectiu d'elaborar dues varietats de pastissos. Per produir una dotzena de pastissos del tipus A calen 1 kg de farina, 0,5 kg de sucre i 1 kg de mantega. En canvi, per a una dotzena del tipus B es requereixen 2 kg de farina, 0,25 kg de sucre i 1 kg de mantega. El guany derivat de la venda d'una dotzena del tipus A és de 30 u.m., mentre que pel tipus B s'obtenen 40 u.m. per dotzena.

e. (0,6 punts) Determineu quin hauria de ser el preu de venda (benefici unitari) d'una dotzena de pastissos del tipus B a fi que resultés òptim fabricar únicament pastissos d'aquesta varietat. Calculeu també el benefici màxim en aquesta situació.

u.m.

u.m.

Pregunta 2 (1,4 punts). Àlgebra vectorial: operacions bàsiques i combinació lineal

Considerant els vectors de $\mathbb{R}^2$: $\vec{o} = (-6, 5)$ i $\vec{r} = (1, 3)$.

a.

(0,4 punts) Calculeu el vector diferència $\vec{o} - \vec{r}$.

$($

$,$

$)$

b.

(1,0 punts) Determineu si el vector $(1, 0)$ es pot expressar com a combinació lineal dels vectors $\vec{o}$ i $\vec{r}$. En cas afirmatiu, trobeu explícitament els escalars de dita combinació lineal.

Sí

No

$k =$

$k' =$

Pregunta 3 (1,5 punts). Àlgebra matricial: invertibilitat i equació matricial

Siguin les matrius:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 4 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$$

a)

[0,75 punts] Raoneu si la matriu $A$ té matriu inversa. Feu el mateix raonament per a la matriu $C$.

Sí

No

Sí

No

b)

[0,75 punts] Aïlleu la matriu $X$ de l'equació matricial $C^{-1} X C = C$ i determineu el seu valor:

$X = \Bigg($

$\Bigg)$

Pregunta 4 (2,25 punts). Sistemes d'equacions lineals: assignació de recursos en una promotora

Una promotora immobiliària pot construir pisos de 2, 3 i 4 habitacions. Per comercialitzar un habitatge de cadascun d'aquests tipus es requereixen, respectivament:

Despeses de gestoria: 10, 8 i 5 milers d'euros.

Temps de treball: 6, 5 i 8 hores de feina.

Cost de materials: 2, 2 i 11 milions d'euros.

L'empresa disposa d'un total de 65 milers d'euros per a la gestoria, 54 hores de feina i 43 milions d'euros per a la compra de materials.

a)

[0,75 punts] Formuleu el sistema d'equacions lineals que cal resoldre per determinar el nombre de pisos de 2, 3 i 4 habitacions ($x, y, z$) que s'han de construir per exhaurir tots els recursos disponibles.

b)

[0,75 punts] Trobeu el rang de la matriu de coeficients i de la matriu ampliada. Discutiu el sistema d'acord amb el teorema de Rouché-Frobenius.

c)

[0,75 punts] Si el sistema admet múltiples solucions, trobeu una solució que estigui formada exclusivament per nombres enters no negatius.

Pregunta 5 (2,25 punts). Model de Leontief: matriu d'inputs i previsió de producció

En una economia formada per dos sectors productius (indústria i serveis), se sap que registrant una producció de 1800 unitats del sector industrial i 3200 unitats del sector serveis, es destinen 300 unitats de la indústria a ella mateixa i 450 unitats al sector serveis. Al mateix temps, el sector serveis destina 800 unitats a cadascun dels dos sectors.

a)

[0,75 punts] Deduïu la matriu de coeficients tecnològics $A$ d'aquesta economia.

$A =$

b)

[0,75 punts] Amb els nivells de producció indicats, calculeu quina demanda final podrà satisfer el sistema econòmic.

c)

[0,75 punts] Quina producció total haurà de generar cada sector per atendre una nova demanda final de 900 unitats del sector industrial i 2700 unitats del sector serveis?