Examen de Matemàtiques I i II UAB 2022 · Primer Parcial. Novembre 2022

Pregunta 1 [4,5 punts]. Nombres complexos i factorització de polinomis

Responeu de manera raonada a les qüestions següents:

a.

[1 punt] Calculeu el valor de la potència següent i escriviu el resultat tant en forma polar com en forma cartesiana:

$$\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{501}$$

b.

[1 punt] Sabent que el nombre complex $1 + \sqrt{3}i$ és una de les arrels cinquenes d'un cert nombre complex $z$, determineu en forma polar totes les altres arrels cinquenes de $z$.

c.

Donat el polinomi $p(z) = 2z^3 + 128$:

a.

[1 punt] Trobeu totes les arrels de $p(z)$ a $\mathbb{C}$.

b.

[0,5 punts] Escriviu la descomposició en factors irreductibles de $p(z)$ a l'anell $\mathbb{C}[z]$.

c.

[1 punt] Escriviu la descomposició en factors irreductibles de $p(z)$ a l'anell $\mathbb{R}[z]$.

Pregunta 2 [2,5 punts]. Rang d'una matriu en funció de paràmetres

Determineu, en funció dels paràmetres reals $a, b, c, d$, el rang de la següent matriu:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b & 0 \\ 0 & c & d & 1 \\ 1 & a & b & 0 \\ 0 & c & d & 1 \end{pmatrix}$$

Pregunta 3 (3 punts). Subespai vectorial i bases a R^4

Sigui el conjunt de vectors definit per:

$$F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x = 2y - z + t\}$$

a)

[1 punt] Demostreu que $F$ és un subespai vectorial de $\mathbb{R}^4$.

b)

[1 punt] Trobeu una base de $F$ i determineu la seva dimensió.

c)

[1 punt] Amplieu la base obtinguda a l'apartat anterior fins a construir una base de tot l'espai $\mathbb{R}^4$.