Pregunta 1 · Matemàtiques I i II UAB 2022

Tema: Nombres complexos i polinomis · Del examen Examen Primer Parcial. Novembre 2022 (2022)

Enunciado

Pregunta 1 [4,5 punts]. Nombres complexos i factorització de polinomis

Responeu de manera raonada a les qüestions següents:

a.

[1 punt] Calculeu el valor de la potència següent i escriviu el resultat tant en forma polar com en forma cartesiana:

(1+3i2)501\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{501}

b.

[1 punt] Sabent que el nombre complex 1+3i1 + \sqrt{3}i és una de les arrels cinquenes d'un cert nombre complex zz, determineu en forma polar totes les altres arrels cinquenes de zz.

c.

Donat el polinomi p(z)=2z3+128p(z) = 2z^3 + 128:

a.

[1 punt] Trobeu totes les arrels de p(z)p(z) a C\mathbb{C}.

b.

[0,5 punts] Escriviu la descomposició en factors irreductibles de p(z)p(z) a l'anell C[z]\mathbb{C}[z].

c.

[1 punt] Escriviu la descomposició en factors irreductibles de p(z)p(z) a l'anell R[z]\mathbb{R}[z].

Enunciado: Pregunta 1 · Matemàtiques I i II UAB 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Forma polar de ((1 + sqrt(3)i)/2)^501

Solución: 1π1_\pi / eiπe^{i\pi}

a. Forma cartesiana de ((1 + sqrt(3)i)/2)^501

Solución: −1-1

b. Totes les altres arrels cinquenes de z en forma polar

Solución: 211π/15,217π/15,223π/15,229π/152_{11\pi/15}, 2_{17\pi/15}, 2_{23\pi/15}, 2_{29\pi/15}

c. a. Trobeu totes les arrels de p(z) a C

Solución: −4,2+23i,2−23i-4, 2 + 2\sqrt{3}i, 2 - 2\sqrt{3}i

c. b. Descomposició en factors irreductibles de p(z) a C[z]

Solución: 2(z+4)(z−(2+23i))(z−(2−23i))2(z+4)(z - (2+2\sqrt{3}i))(z - (2-2\sqrt{3}i))

c. c. Descomposició en factors irreductibles de p(z) a R[z]

Solución: 2(z+4)(z2−4z+16)2(z+4)(z^2 - 4z + 16) / (z+4)(2z2−8z+32)(z+4)(2z^2 - 8z + 32)

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

Problema 1 · 2013 ›

Más ejercicios de Nombres complexos i polinomis