Pregunta 3 · Matemàtiques I i II UAB 2022

Enunciado

Pregunta 3 (3 punts). Subespai vectorial i bases a R^4

Sigui el conjunt de vectors definit per:

$F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x = 2y - z + t\}$

[1 punt] Demostreu que $F$ és un subespai vectorial de $\mathbb{R}^4$ .

[1 punt] Trobeu una base de $F$ i determineu la seva dimensió.

[1 punt] Amplieu la base obtinguda a l'apartat anterior fins a construir una base de tot l'espai $\mathbb{R}^4$ .

Enunciado: Pregunta 3 · Matemàtiques I i II UAB 2022

Según los criterios oficiales de corrección

a) Demostreu que F és un subespai vectorial de R⁴.

Solución: Comprovació de les tres condicions: vector zero pertany a $F$ , clausura per a la suma i clausura per al producte per escalars.

b) Determineu la seva dimensió.

Solución: 3

b) Trobeu una base de F.

Solución: B_F = {(2, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)} / {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, -2), (0, 0, 1, 1)}

c) Amplieu la base obtinguda a l'apartat anterior fins a construir una base de tot l'espai R⁴.

Solución: Afegir un vector w ∉ F, com ara e₁ = (1, 0, 0, 0) o e₄ = (0, 0, 0, 1), i justificar que els 4 vectors són linealment independents.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.