Examen de Matemàtiques I i II UAB 2015 · Primer Parcial (27 de març de 2015)

Pregunta 1. Domini, conjunts de nivell i pla tangent

Considereu la funció real de dues variables:

$$f(x, y) = \ln(x^2 + 4y^2)$$

a.

Determineu el seu domini de definició.

b.

Descriviu geomètricament els seus conjunts (o corbes) de nivell.

c.

Calculeu l'equació del pla tangent a la gràfica $z = f(x, y)$ en el punt $(1, 0, 0)$.

Pregunta 2. Derivació de funcions compostes

Siguin les aplicacions $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ i $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definides com:

$$g(x, y) = (x^2 + y^2, xy) \quad \text{i} \quad f(u, v) = u - 2v$$

Calculeu les derivades parcials de la funció composta $h(x, y) = (f \circ g)(x, y) = f(g(x, y))$:

a.

Efectuant primer la composició de les funcions i derivant de manera directa.

b.

Aplicant la regla de la cadena multivariable.

$\frac{\partial f}{\partial u} =$ $\frac{\partial f}{\partial v} =$

A partir d'aquí es confirma el resultat obtingut a l'apartat a.

Pregunta 3. Punts crítics i la seva classificació

Trobeu tots els punts crítics de la funció següent i determineu-ne la seva naturalesa (màxims locals, mínims locals o punts de sella):

$$f(x, y) = x^2 y^2 - x^2 - y^2 + 2$$

1.

Quants punts crítics té la funció en total?

2.

Classifiqueu els punts crítics obtinguts: