Problema 2 · Organització i Gestió d'Empreses UAB 2016

Ejercicio 1 (1 punto). Optimización de la producción mediante el método de Lagrange

Una empresa comercializa el artículo A con una función de demanda y una estructura de costes totales dadas por:

$$P_A = 130 - 2Q_A \quad \text{y} \quad C_A = 10Q_A + Q_A^2$$

donde $Q_A$ representa el volumen vendido del producto.

a)

Halla la cantidad $Q_A$ que maximiza el beneficio de la compañía.

b)

Supón ahora que también se comercializa un producto B, cuyas funciones de demanda y costes son $P_B = 80 - Q_B$ y $C_B = 5Q_B + 0{,}5Q_B^2$. Debido a restricciones de capacidad técnica, la producción total combinada no puede exceder las 40 unidades ($Q_A + Q_B = 40$). Mediante el método de los multiplicadores de Lagrange y verificando la condición de segundo orden, determina las cantidades óptimas de A y B que maximizan el beneficio global. ¿Cómo repercutiría en el beneficio permitir la venta de 41 unidades en total?