Examen de Matemàtiques UAB 2022 · Primer examen parcial de (21-11-2022)

Problema 1. Dinàmica de tòxic en dipòsits

Un sistema format per dos dipòsits interconnectats i amb mescla perfecta conté inicialment aigua pura. El primer dipòsit té una capacitat de 1000 litres i el segon de 2000 litres. El sistema és travessat per un cabal continu de 500 litres per dia d'aigua neta que entra al primer tanc. A l'instant inicial $t = 0$ (mesurat en dies), s'aboca sobtadament una massa de 4 grams d'una substància soluble tòxica al primer recipient. Per a tot $t \ge 0$, la quantitat en grams de tòxic present en el segon dipòsit ve descrita per la funció:

$$y(t) = 8e^{-t/4}\left(1 - e^{-t/4}\right)$$

a)

Avalueu $y(0)$ i justifiqueu formalment que $y(t) > 0$ per a qualsevol valor $t > 0$.

b)

Calculeu en quin instant de temps s'assoleix la màxima quantitat de tòxic en el segon dipòsit i quin és el valor d'aquest màxim.

c)

Representeu gràficament la funció $y(t)$ per a $t \ge 0$ calculant prèviament el seu punt d'inflexió.

Problema 2. Optimització de la velocitat d'un vaixell

Un vaixell de transport ha de desplaçar un carregament de gra al llarg d'una distància de $D\text{ km}$. El consum de carburant per unitat de temps depèn de la velocitat $v$ (en km/h) segons la fórmula $M(v) = bv^3$ litres per hora, amb un cost unitari del fuel de $p\text{ €/litre}$. D'altra banda, les despeses associades als sous de la tripulació ascendeixen a $C\text{ €}$ per dia de navegació. Suposem que no hi ha cap altra despesa addicional i que els valors $b$, $p$ i $C$ són paràmetres estrictament positius.

a)

Demostreu detalladament que la despesa total del trajecte en funció de la velocitat ve expressada per $f(v) = pbDv^2 + \frac{CD}{24v}$, fent servir que la durada del viatge en hores és $D/v$.

b)

Comproveu el comportament límit del cost total quan la velocitat és excessivament reduïda ($v \to 0^+$) o molt elevada ($v \to \infty$). Indiqueu el valor de cadascun dels límits:

c)

Trobeu la velocitat que minimitza el cost $f$ (en termes dels paràmetres del problema) en cas que no hi hagi restriccions tècniques de velocitat.

d)

Dibuixeu un esbós qualitatiu de la funció de cost $f(v)$ per a $v > 0$.

e)

Si la nau disposa d'un límit màxim de navegació de $V\text{ km/h}$, indiqueu quina és la velocitat més convenient per minimitzar el cost considerant aquesta restricció. En particular, comproveu quina és la velocitat òptima quan el preu del carburant compleix $p < \frac{C}{48bV^3}$.

Problema 3. Temps de creixement poblacional amb integració

En un model de dinàmica de poblacions biològiques subjecte a competència intraespecífica, la quantitat de temps que triga la densitat poblacional a passar d'un valor inicial $a$ a un valor final $b$ és donada per la integral definida:

$$\int_a^b \frac{K}{rx(K - x)}\,dx$$

on $r$ i $K$ són constants positives que representen, respectivament, el coeficient de creixement de Malthus i la capacitat de càrrega del medi ambient (amb la condició $0 < a < b < K$).

Calculeu, expressat exclusivament en termes del paràmetre $r$, el lapse temporal necessari perquè la població vegi incrementada la seva densitat des d'un quart fins a la meitat de la capacitat de càrrega del medi.