Problema 1 · Matemàtiques UAB 2022

a) Avalueu y(0)

Solución: 0

a) Justifiqueu formalment que y(t) > 0 per a qualsevol valor t > 0

Solución: Com que l'exponencial és estrictament positiva, $e^{-t/4} > 0$. Per a $t > 0$, $-t/4 < 0$, de manera que $e^{-t/4} < 1$, la qual cosa implica $1 - e^{-t/4} > 0$. Com a producte de factors positius multiplicats per 8, $y(t) > 0$.

b) Calculeu en quin instant de temps s'assoleix la màxima quantitat de tòxic en el segon dipòsit

Solución: $4\ln(2)$ dies / $2{,}77$ dies

b) Quin és el valor d'aquest màxim?

Solución: 2 g

c) Abscissa del punt d'inflexió

Solución: $8\ln(2)$ dies / $2\ln(4)$ dies / $5{,}55$ dies

c) Quantitat de tòxic al punt d'inflexió

Solución: 1.5 g / 3/2 g

c) Representeu gràficament la funció y(t) per a t >= 0

Solución: El gràfic s'inicia en l'origen $(0,0)$, creix de manera còncava fins al màxim en $(4\ln(2), 2)$, canvia de concavitat a convexitat en el punt d'inflexió $(8\ln(2), 1{,}5)$ i decreix asimptòticament cap a l'eix d'abscisses ($y \to 0$ quan $t \to \infty$).