Problema 2 · Matemàtiques UAB 2022

a. Demostreu detalladament que la despesa total del trajecte en funció de la velocitat ve expressada per $f(v) = pbDv^2 + \frac{CD}{24v}$, fent servir que la durada del viatge en hores és $D/v$.

Solución: El cost global del viatge és la suma de la despesa en fuel i el cost salarial: $$f(v) = \text{Cost combustible} + \text{Cost salaris}$$ Tenint en compte que la durada del viatge és $T = \frac{D}{v}$ hores, és a dir, $\frac{D}{24v}$ dies: * Cost del combustible: $p \times M(v) \times T = p \times (bv^3) \times \frac{D}{v} = pbDv^2$. * Cost salarial: $C \times \text{dies de viatge} = C \times \frac{D}{24v} = \frac{CD}{24v}$. Sumant ambdós conceptes obtenim efectivament: $$f(v) = pbDv^2 + \frac{CD}{24v}$$

b. Comproveu el comportament límit del cost total quan la velocitat és excessivament reduïda ($v \to 0^+$).

Solución: $\lim_{v \to 0^+} f(v) = +\infty$

b. Comproveu el comportament límit del cost total quan la velocitat és molt elevada ($v \to \infty$).

Solución: $\lim_{v \to \infty} f(v) = +\infty$

c. Trobeu la velocitat que minimitza el cost $f$ (en termes dels paràmetres del problema) en cas que no hi hagi restriccions tècniques de velocitat.

Solución: $\hat{v} = \left(\frac{C}{48pb}\right)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{C}{48pb}}$

d. Dibuixeu un esbós qualitatiu de la funció de cost $f(v)$ per a $v > 0$.

Solución: El gràfic de $f(v)$ per a $v > 0$ presenta una asímptota vertical en $v = 0$ ($f \to +\infty$), decreix de forma monòtona fins a assolir el mínim absolut en $v = \hat{v} = \sqrt[3]{\frac{C}{48pb}}$, i a partir d'aquest valor creix de manera contínua amb curvatura positiva cap a $+\infty$ per a velocitats altes.

e. En particular, comproveu que quan el preu del carburant compleix $p < \frac{C}{48bV^3}$ resulta òptim navegar a la velocitat punta $V$.

Solución: $V$

e. Si la nau disposa d'un límit màxim de navegació de $V\text{ km/h}$, indiqueu quina és la velocitat més convenient per minimitzar el cost considerant aquesta restricció.

Solución: Si la velocitat està fitada superiorment per $V$, l'interval de velocitats admissibles és $(0, V]$: * Si $V > \hat{v}$, el mínim global pertany a l'interval permès, per la qual cosa la velocitat òptima és $v^* = \hat{v} = \sqrt[3]{\frac{C}{48pb}}$. * Si $V \le \hat{v}$, és a dir, $V \le \sqrt[3]{\frac{C}{48pb}} \iff V^3 \le \frac{C}{48pb} \iff p \le \frac{C}{48bV^3}$, la funció $f$ és estrictament decreixent en tot l'interval permès $(0, V]$ (ja que la derivada només s'anul·la més enllà de $V$). Per tant, el cost mínim s'assoleix a l'extrem superior de l'interval: la velocitat òptima és la màxima possible, $v^* = V$.