Problema 3 · Matemàtiques UAB 2022

Problema 3. Temps de creixement poblacional amb integració

En un model de dinàmica de poblacions biològiques subjecte a competència intraespecífica, la quantitat de temps que triga la densitat poblacional a passar d'un valor inicial $a$ a un valor final $b$ és donada per la integral definida:

$$\int_a^b \frac{K}{rx(K - x)}\,dx$$

on $r$ i $K$ són constants positives que representen, respectivament, el coeficient de creixement de Malthus i la capacitat de càrrega del medi ambient (amb la condició $0 < a < b < K$).

Calculeu, expressat exclusivament en termes del paràmetre $r$, el lapse temporal necessari perquè la població vegi incrementada la seva densitat des d'un quart fins a la meitat de la capacitat de càrrega del medi.