Examen de Matemàtiques UAB 2014 · Primer examen parcial de (Novembre 2014)

Exercici 1 (3,5 punts). Magnitud i brillantor d'un astre

La magnitud astronòmica $M$ d'un determinat cos celeste es calcula mitjançant la relació:

$$M = -\frac{\ln(b)}{\ln(2{,}512)} + C$$

on $b$ representa la seva brillantor aparent i $C$ és una constant.

a.

Demostreu que la magnitud disminueix a mesura que la brillantor creix.

b.

Sabent que l'estrella Polar té una magnitud d'1,97 i el planeta Mart arriba a una magnitud de -2,8 en la seva fase de màxima brillantor, determineu quantes vegades més brillant pot arribar a ser Mart respecte de l'estrella Polar.

c.

Calculeu el valor de la magnitud d'una estrella (com ara Sírius) que té una brillantor 25 vegades superior a la de l'estrella Polar.

Exercici 2. Dinàmica de població d'insectes i optimització

En una població d'una espècie d'insecte s'ha establert que, si la densitat en un any determinat és de $P$ (mesurada en individus per $\text{km}^2$), la densitat observada l'any posterior ve descrita per la funció:

$$g(P) = \frac{50P^2}{32 + P^3}$$

a.

La quantitat mitjana de descendents directes per cada individu (anomenada taxa de «fertilitat») es defineix com $f(P) = \frac{g(P)}{P}$. Calculeu quin és el valor màxim que pot assolir aquesta fertilitat.

b.

Determineu el valor màxim absolut que pot registrar la densitat poblacional del segon any, $g(P)$.

Exercici 2. Dinàmica de població d'insectes i optimització

En una població d'una espècie d'insecte s'ha establert que, si la densitat en un any determinat és de $P$ (mesurada en individus per $\text{km}^2$), la densitat observada l'any posterior ve descrita per la funció:

$$g(P) = \frac{50P^2}{32 + P^3}$$

c)

Feu una representació gràfica acurada de la funció $g(P)$ restringida als valors positius de $P$ ($P \ge 0$).

Exercici 3bis [2,5 punts]. Sistema de dipòsits i integració per parts

Un conjunt de tres tancs idèntics interconnectats, plens d'aigua i amb mescla perfecta homogènia, cadascun d'ells amb un volum de 1000 litres, és travessat per un flux continu d'aigua amb un cabal constant de 1000 litres/dia.

En el moment inicial $t = 0$ es produeix un abocament de 10 g d'un compost soluble al primer recipient. La taxa d'eliminació de la substància en sortir del tercer dipòsit (expressada en grams per dia) segueix la funció temporal:

$$z(t) = 5t^2 e^{-t}$$

on $t$ es mesura en dies. Determineu la massa total en grams que s'haurà evacuat del sistema en transcórrer les primeres 12 hores mitjançant la integral:

$$\int_0^{1/2} z(t)\,dt$$

g