Examen de Matemáticas UAB 2017 · parcial d'octubre de 2017

Trobeu la fórmula explícita d'una funció de tipus sinusoïdal que presenti una semiamplada de 10, un període igual a 3 i que verifiqui que, en avaluar-la per a un valor de la variable independent nul, la funció valgui 5. Traceu així mateix un esquema aproximat de la corba obtinguda.

Analitzeu la continuïtat de la següent funció definida a la recta real:$$f(x) = e^{-1/x}$$

El rendiment $G$ d'una explotació en funció d'un recurs disponible $R$ es pot descriure mitjançant el model de Holling:

$$G(R) = \frac{R}{k^2 + R^2}$$

on $k$ representa una constant estrictament positiva i la variable satisfà $R \ge 0$.

a.

Indiqueu el domini de definició de la funció $G(R)$ i determineu-ne la continuïtat.

b.

Calculeu i interpreteu el valor del rendiment quan no hi ha recurs ($R = 0$).

c.

Analitzeu el comportament asimptòtic de $G$ quan la quantitat de recurs creix indefinidament ($R \to +\infty$).

El rendiment $G$ d'una explotació en funció d'un recurs disponible $R$ es pot descriure mitjançant el model de Holling:

$$G(R) = \frac{R}{k^2 + R^2}$$

on $k$ representa una constant estrictament positiva i la variable satisfà $R \ge 0$.

d)

Demostreu que la funció té un únic màxim absolut (global). Calculeu primer la derivada $G'(R)$ respecte a $R$:

e)

Indiqueu per a quin nivell de recurs $R_0$ s'aconsegueix el rendiment màxim:

f)

Quant val el rendiment màxim de l'explotació?