Examen de Matemáticas I UAB 2020 · Mostra Matemàtiques I - Curs 2020-2021

Donada la funció real de variable real expressada per:

$$f(x) = (4 - x^2)^{-1} = \frac{1}{4 - x^2}$$

a. Trobeu el domini de definició de $f$ i determineu les interseccions de la seva gràfica amb els eixos de coordenades.

$x_1 =$

$x_2 =$

$y =$

Donada la funció real de variable real expressada per:

$$f(x) = (4 - x^2)^{-1} = \frac{1}{4 - x^2}$$

b. Investigueu l'existència d'asímptotes tant verticals com horitzontals de la gràfica de $f$.

$x =$

i $x =$

$y =$

Exercici 2 (2 punts). Monotonia, extrems relatius i curvatura

A partir de la funció $f(x) = \frac{1}{4 - x^2}$ introduïda a l'exercici anterior:

a. Determineu els intervals de creixement i decreixement de $f$, així com els seus extrems relatius.

$f'(x) =$

Abscissa $x =$

Coordenada $y = f(x) =$

Exercici 2 (2 punts). Monotonia, extrems relatius i curvatura

A partir de la funció $f(x) = \frac{1}{4 - x^2}$ introduïda a l'exercici anterior:

b. Indiqueu els intervals de concavitat i convexitat, i trobeu els punts d'inflexió si n'hi ha.

$f''(x) =$

Exercici 3 (2 punts). Càlcul del límit d'un producte

Donada la funció real de variable real expressada per:

$$f(x) = (4 - x^2)^{-1} = \frac{1}{4 - x^2}$$

Considerant la funció $f$ definida a l'Exercici 1 i la funció polinòmica $g(x) = 2x^2 + 5$, amb $x \in \mathbb{R}$, determineu el valor del següent límit:

$$\lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x))$$

Exercici 4 (2 punts). Optimització del cost sota restricció

Una empresa comercialitza dos béns en quantitats $x$ i $y$, respectivament. La funció de cost associada és $C(x, y) = y \cdot x^2$.

Trobeu les quantitats $x$ i $y$ que fan mínim el cost, sabent que la producció total ha de complir la restricció $x + y = 6$, amb $x > 0$ i $y > 0$.

Raoneu si existeix un mínim en l'interval o si el problema assoleix un altre tipus d'extrem / no té mínim a l'interior de l'interval:

Exercici 5 (2 punts). Càlcul de l'àrea compresa entre dues corbes

Considereu les corbes definides per $y = 8 - 2x$ i $y = 4x - x^2$.

Calculeu l'àrea de la regió del pla limitada per les gràfiques d'aquestes dues funcions entre les rectes verticals $x = 0$ i $x = 2$.