Examen de Matemáticas I UAB 2018 · final de Matemàtiques I (Gener 2018)

Problema 1 (1 punt). Composició i domini de funcions

Considerant les funcions expressades a continuació:

$$f(x) = \frac{1}{5 - x}, \quad g(x) = \sqrt{x - 4}$$

Trobeu l'expressió analítica de la funció composta $(f \circ g)(x)$ i determineu raonadament quin és el seu domini de definició.

a)

b)

Problema 2 (2 punts). Continuïtat i derivabilitat d'una funció a trossos

Es considera la funció definida a trossos següent:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2}{x^2 - 4} & \text{si } -2 < x \le 0 \\[1em] \ln(x + a) & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

a.

Quin valor ha de prendre el paràmetre $a$ per garantir que $f(x)$ sigui contínua en $x = 0$? [1 punt]

$a =$

b.

Per al valor de $a$ calculat a l'apartat anterior, és la funció derivable en el punt $x = 0$? Justifiqueu la resposta. [1 punt]

Sí

No

Sigui la funció: $$f(x) = \frac{2e^x}{x^3}$$

a.

Determineu les assímptotes de la funció (verticals, horitzontals i obliqües), indicant el tipus i mostrant tots els límits necessaris. [1 punt]

c.

Determineu els intervals de concavitat i de convexitat de la funció. [1 punt]

Sigui la funció: $$f(x) = \frac{2e^x}{x^3}$$

b.

Trobeu els intervals de creixement i de decreixement de la funció de forma justificada. [1 punt]

d.

Indiqueu i classifiqueu els extrems relatius i absoluts (màxims i mínims) que presenta la funció dins de l'interval tancat $[2, 7]$. [1 punt]

Problema 4 (1,5 punts). Càlcul d'una integral indefinida

Calculeu la integral indefinida següent, indicant detalladament el procediment i els passos que seguiu:

$$\int x e^{3x^2}\,dx$$

Problema 5 (1,5 punts). Càlcul d'àrea entre corba i eix

Calculeu l'àrea de la regió ombrejada a la figura, delimitada per la funció $f(x) = x^3 + 1$, l'eix d'abscisses horitzontal i les rectes verticals $x = -2$ i $x = 2$:

a)