Exercice 1 - Partie B : Loi binomiale · Bac Mathématiques Polynésie 2025 (jour 1)

Partie C.

On s'intéresse à un échantillon de 20 enfants atteints d'allergie alimentaire choisis au hasard.

L'âge d'apparition des premiers symptômes allergiques de ces 20 enfants est modélisé par les variables aléatoires $A_1, A_2, \dots, A_{20}$. On admet que ces variables aléatoires sont indépendantes et suivent la même loi d'espérance 4 et de variance 2,25.

On considère la variable aléatoire:$$M_{20} = \frac{A_1 + A_2 + \dots + A_{20}}{20}$$

Partie B.

L'étude révèle aussi que 9 % des enfants des États-Unis sont atteints d'allergie alimentaire. On réalise une étude en interrogeant au hasard 100 enfants des États-Unis.

On admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'enfants atteints d'allergie alimentaire dans l'échantillon considéré.

1.

Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2.

Quelle est la probabilité qu'au moins 10 enfants parmi les 100 interrogés soient atteints d'allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$.