Exercice 1 - Partie B · Bac Mathématiques Polynésie 2023 (jour 1)

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Les utilisateurs de vélo d'une ville sont classés en deux catégories disjointes:

ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels;

ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.

Un sondage donne les résultats suivants:

$21\,\%$ des utilisateurs ont moins de $35$ ans. Parmi eux, $68\,\%$ utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l'utilisent dans leurs déplacements professionnels;

parmi les $35$ ans ou plus, seuls $20\,\%$ utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l'utilisent uniquement pour leurs loisirs.

On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville.

Dans tout l'exercice on considère les événements suivants:

$J$: « la personne interrogée a moins de $35$ ans »;

$T$: « la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels »;

$\overline{J}$ et $\overline{T}$ sont les événements contraires de $J$ et $T$.

Partie B

Dans cette partie, on s'intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels. On admet que 30 % d'entre elles ont moins de 35 ans.

On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de 120 personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire. On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.

On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.

$X$ représente le nombre de personnes de l'échantillon ayant moins de 35 ans.

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

1.

Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.

2.

Calculer la probabilité qu'au moins 50 utilisateurs de vélo parmi les 120 aient moins de 35 ans.