Exercice 1 - Partie B · Bac Mathématiques Polynésie 2023 (jour 2)

Exercice 1 (5 points) Thèmes: probabilités, suites

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d'entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que:

si l'athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans 90 % des cas le jour suivant;

si l'athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans 70 % des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.

On note pour tout entier naturel $n$:

$R_n$ l'événement: « L'athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance »,

$p_n$ la probabilité de l'événement $R_n$. On considère que $p_0 = 0{,}6$.

Partie B

Après de nombreuses séances d'entraînement, l'entraîneur estime maintenant que l'athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0{,}75$ et ce indépendamment d'avoir franchi ou non les haies précédentes.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l'athlète à l'issue d'un 400 mètres haies qui comporte 10 haies.

1.

Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.

2.

Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l'athlète franchisse les 10 haies.

3.

Calculer $P(X \ge 9)$, à $10^{-3}$ près.