Exercice 1 - Loi binomiale et sommes de variables… · Bac Mathématiques Polynésie jour 1 - Remplacement 2025

En France il y a deux formules pour obtenir le permis de conduire:

Suivre à partir de 15 ans une formation de conduite accompagnée pendant 2 ans;

Suivre la formation classique (sans conduite accompagnée) à partir de 17 ans.

En France actuellement, parmi les jeunes qui suivent une formation au permis de conduire, 16 % choisissent la formation de conduite accompagnée, et parmi eux, 74,7 % réussissent l'examen de conduite dès leur première tentative.

En suivant la formation classique, le taux de réussite dès la première tentative est seulement de 56,8 %.

On choisit au hasard un jeune français qui a déjà passé l'examen de conduite et on considère les événements $A$ et $R$ suivants:

$A$: « le jeune a suivi la formation de conduite accompagnée »;

$R$: « le jeune a eu le permis dès sa première tentative ».

On arrondira les résultats à $10^{-3}$ près, si nécessaire.

Partie B

Une auto-école présente pour la première fois à l'examen de conduite 10 candidats qui ont suivi la formation de conduite accompagnée. On modélise le fait de passer les examens de conduite par des épreuves aléatoires indépendantes.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de ces 10 candidats qui auront leur permis dès la première tentative.

1.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0{,}747$.

2.

Calculer $P(X \ge 6)$. Interpréter ce résultat.

3.

Déterminer $E(X)$ et $V(X)$ (arrondir $V(X)$ à $10^{-3}$).

4. Il y a aussi 40 candidats qui n'ont pas suivi la formation de conduite accompagnée et qui se présentent pour la première fois à l'examen de conduite. De la même manière, on note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de ces candidats qui auront le permis à la première tentative. On admet que $Y$ est indépendante de la variable $X$ et qu'en fait $E(Y) = 22{,}53$ et $V(Y) = 9{,}81$.

On note alors $Z$ la variable aléatoire comptant le nombre total de candidats (parmi les 50) qui auront le permis de conduire dès la première tentative dans cette auto-école.

a.

Exprimer $Z$ en fonction de $X$ et $Y$. En déduire $E(Z)$ et $V(Z)$ (arrondir $V(Z)$ à $10^{-3}$).

b.

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est inférieure à 0,12.