Exercice 2 - Loi binomiale · Bac Mathématiques Polynésie 2022 (jour 1)

Selon les autorités sanitaires d'un pays, 7 % des habitants sont infectés par une certaine maladie.

Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes:

pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans 20 % des cas;

pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans 1 % des cas.

Une personne est choisie au hasard dans la population et testée.

On considère les événements suivants:

$M$: « la personne est malade »;

$T$: « le test est positif ».

5.

On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'individus ayant un test positif parmi les dix personnes.

a.

Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.

b.

Déterminer la probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.

6.

Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles ait un test positif, soit supérieure à 99 %.