Exercice 2 · Bac Mathématiques Polynésie 2025 (jour 1)

Exercice 2. (5 points)

Deux avions sont en approche d'un aéroport. On munit l'espace d'un repère orthonormé $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$ dont l'origine $O$ est le pied de la tour de contrôle, et le sol est le plan $P_0$ d'équation $z = 0$. L'unité des axes correspond à 1 km. On modélise les avions par des points.

L'avion Alpha transmet à la tour sa position en $A(-7\,;\,1\,;\,7)$ et sa trajectoire est dirigée par le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$. L'avion Bêta transmet une trajectoire définie par la droite $d_B$ passant par le point $B$ dont une représentation paramétrique est: $$\begin{cases} x = -11 + 5t \\ y = -5 + t \\ z = 11 - 4t \end{cases} \quad \text{où } t \text{ décrit } \mathbb{R}.$$

1.

S'il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point $S$ en lequel l'avion Bêta touchera le sol.

2.a.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d_A$ caractérisant la trajectoire de l'avion Alpha.

2.b.

Les deux avions peuvent-ils entrer en collision ?

3.a.

Démontrer que l'avion Alpha passe par la position $E(-3\,;\,-1\,;\,1)$.

3.b.

Justifier qu'une équation cartésienne du plan $P_E$ passant par $E$ et perpendiculaire à la droite $d_A$ est: $$2x - y - 3z + 8 = 0.$$

3.c.

Vérifier que le point $F(-1\,;\,-3\,;\,3)$ est le point d'intersection du plan $P_E$ et de la droite $d_B$.

3.d.

Calculer la valeur exacte de la distance $EF$, puis vérifier que cela correspond à une distance de 3464 m, à 1 m près.

4.

La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent étre à tout instant à au moins 3 milles nautiques l'un de l'autre (1 mille nautique vaut 1852 m). Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en $E$ et $F$ au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée ?