Exercice 2 · Bac Mathématiques Polynésie 2023 (jour 1)

Exercice 2 (5 points) Thème: géométrie dans l'espace

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

On considère:

$d_1$ la droite passant par le point $H(2; 3; 0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$;

$d_2$ la droite de représentation paramétrique:

$$\begin{cases} x = 2k - 3 \\ y = k \\ z = 5 \end{cases} \quad \text{où } k \text{ décrit } \mathbb{R}.$$

Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d'une droite $\Delta$ qui soit perpendiculaire aux droites $d_1$ et $d_2$.

1. a.

Déterminer un vecteur directeur $\vec{v}$ de la droite $d_2$.

1. b.

Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.

1. c.

Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas sécantes.

1. d.

Quelle est la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ ?

2. a.

Vérifier que le vecteur $\vec{w}\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$.

2. b.

On considère le plan $P$ passant par le point $H$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.

On admet qu'une équation cartésienne de ce plan est: $5x + 4y - z - 22 = 0$.

Démontrer que l'intersection du plan $P$ et de la droite $d_2$ est le point $M(3; 3; 5)$.

Soit $\Delta$ la droite de vecteur directeur $\vec{w}$ passant par le point $M$. Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc donnée par:

$$\begin{cases} x = -r + 3 \\ y = 2r + 3 \\ z = 3r + 5 \end{cases} \quad \text{où } r \text{ décrit } \mathbb{R}.$$

3. a.

Justifier que les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires en un point $L$ dont on déterminera les coordonnées.

3. b.

Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ est solution du problème posé.