Exercice 3 · Bac Mathématiques Polynésie 2025 (jour 2)

Thème : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Tiré du sujet Jour 2 (2025)

Énoncé

Exercice 3 (5 points)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}).

On considère les points suivants:

A(1;3;0), B(−1;4;5), C(0;1;0) et D(−2;2;1).A(1; 3; 0),\ B(-1; 4; 5),\ C(0; 1; 0) \text{ et } D(-2; 2; 1).

1.

Montrer que les points AA, BB et CC déterminent un plan.

2.

Montrer que le triangle ABCABC est rectangle en AA.

3. Soit Δ\Delta la droite passant par le point DD et de vecteur directeur u⃗(2−11)\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}.

a.

Démontrer que la droite Δ\Delta est orthogonale au plan (ABC)(ABC).

b.

Justifier que le plan (ABC)(ABC) admet pour équation cartésienne: 2x−y+z+1=0.2x - y + z + 1 = 0.

c.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ\Delta.

4.

On appelle HH le point de coordonnées (−23;43;53)\left(-\frac{2}{3}; \frac{4}{3}; \frac{5}{3}\right). Vérifier que HH est le projeté orthogonal du point DD sur le plan (ABC)(ABC).

5. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par V=13B×hV = \frac{1}{3} B \times h, où BB est l'aire d'une base du tétraèdre et hh est sa hauteur relative à cette base.

a.

Montrer que DH=263DH = \frac{2\sqrt{6}}{3}.

b.

En déduire le volume du tétraèdre ABCDABCD.

6.

On considère la droite dd de représentation paramétrique:

{x=1−2ky=−3kz=1+k, ouˋ k deˊcrit R.\begin{cases} x = 1 - 2k \\ y = -3k \\ z = 1 + k \end{cases}, \text{ où } k \text{ décrit } \mathbb{R}.

La droite dd et le plan (ABC)(ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?

Sécants

Parallèles

Énoncé: Exercice 3 · Bac Mathématiques Polynésie 2025 (jour 2)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.

Réponse : Les vecteurs AB⃗(−2;1;5)\vec{AB}(-2; 1; 5) et AC⃗(−1;−2;0)\vec{AC}(-1; -2; 0) ne sont pas colinéaires, donc AA, BB et CC définissent un plan.

2. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

Réponse : AB⃗⋅AC⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0, donc le triangle ABCABC est rectangle en AA.

3. a. Démontrer que la droite Δ est orthogonale au plan (ABC).

Réponse : u⃗⋅AB⃗=0\vec{u} \cdot \vec{AB} = 0 et u⃗⋅AC⃗=0\vec{u} \cdot \vec{AC} = 0, donc u⃗\vec{u} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABC)(ABC).

3. b. Justifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne : 2x - y + z + 1 = 0.

Réponse : 2x−y+z+1=02x - y + z + 1 = 0

3. c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ.

Réponse : {x=−2+2ty=2−tz=1+t,t∈R\begin{cases} x = -2 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 1 + t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}

4. Vérifier que H est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

Réponse : H∈(ABC)H \in (ABC) et H∈ΔH \in \Delta pour t=23t = \frac{2}{3}. Comme Δ\Delta est orthogonale à (ABC)(ABC) et passe par DD, HH est bien le projeté orthogonal de DD sur (ABC)(ABC).

5. a. Montrer que DH = 2√6 / 3.

Réponse : DH=263DH = \frac{2\sqrt{6}}{3}

5. b. En déduire le volume du tétraèdre ABCD.

Réponse : 10/3

Justification : La droite d et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?

Réponse : La droite dd a pour vecteur directeur v⃗(−2;−3;1)\vec{v}(-2; -3; 1). On a v⃗⋅u⃗=0\vec{v} \cdot \vec{u} = 0, donc v⃗\vec{v} est orthogonal à u⃗\vec{u}, ce qui signifie que v⃗\vec{v} est parallèle au plan (ABC)(ABC). La droite dd est donc parallèle au plan (ABC)(ABC).

6. La droite d et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?

Réponse : Parallèles

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