Exercice 4 · Bac Mathématiques Polynésie jour 1 - Remplacement 2024

On considère un cube $ABCDEFGH$ et l'espace est rapporté au repère orthonormal $(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$.

Pour tout réel $m$ appartenant à l'intervalle $[0; 1]$, on considère les points $K$ et $L$ de coordonnées:

$$K(m; 0; 0) \quad \text{et} \quad L(1 - m; 1; 1)$$

1.

Donner les coordonnées des points $E$ et $C$ dans ce repère.

2. Dans cette question, $m = 0$. Ainsi, le point $L(1; 1; 1)$ est confondu avec le point $G$, le point $K(0; 0; 0)$ est confondu avec le point $A$ et le plan $(LEK)$ est donc le plan $(GEA)$.

2.a.

Justifier que le vecteur $\vec{DB}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix}$ est normal au plan $(GEA)$.

2.b.

Déterminer une équation cartésienne du plan $(GEA)$.

On s'intéresse désormais à la nature de $CKEL$ en fonction du paramètre $m$.

3. Dans cette question, $m$ est un réel quelconque de l'intervalle $[0; 1]$.

3.a.

Démontrer que $CKEL$ est un parallélogramme.

3.b.

Justifier que $\vec{KC}\cdot\vec{KE} = m(m - 1)$.

3.c.

Démontrer que $CKEL$ est un rectangle si, et seulement si, $m = 0$ ou $m = 1$.

4. Dans cette question, $m = \frac{1}{2}$. Ainsi, $L$ a pour coordonnées $\left(\frac{1}{2}; 1; 1\right)$ et $K$ a pour coordonnées $\left(\frac{1}{2}; 0; 0\right)$.

4.a.

Démontrer que le parallélogramme $CKEL$ est alors un losange.

4.b.

À l'aide de la question 3. b., déterminer une valeur approchée au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{CKE}$.

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