Exercice 3 · Bac Mathématiques Polynésie 2026 (jour 2)

Exercice 3 (5 points)

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$, on considère les points $A(-1; 1; 1)$, $B(1; -6; -1)$ et $C(-5; 2; 3)$.

1. a.

Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

1. b.

Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}6 \\ -2 \\ 13\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.

1. c.

En déduire que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne: $$6x - 2y + 13z - 5 = 0.$$

2.

On considère le plan $(P)$ d'équation cartésienne $8x - 2y - 4z + 18 = 0$.

On admet que deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux.

Démontrer que les plans $(ABC)$ et $(P)$ sont perpendiculaires.

3.

Soit $(d)$ une droite dont une représentation paramétrique est:$$\begin{cases}x = -4 + t \\ y = -11 + 6t \\ z = 2 - t\end{cases}; t \in \mathbb{R}.$$Démontrer que la droite $(d)$ intersecte le plan $(ABC)$ en un unique point qu'on nommera $E$, et qui a pour coordonnées $E(-3; -5; 1)$.

4. a.

Soit $H(-2; 1; 0)$. Montrer que $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$.

4. b.

En déduire la distance du point $A$ à la droite $(d)$.

4. c.

Montrer que le triangle $AHE$ est rectangle et que son aire est égale à $\sqrt{19}$ unités d'aire.