Exercice 4 · Bac Mathématiques Polynésie 2026 (jour 1)

Exercice 4 (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{\imath}; \vec{\jmath}; \vec{k})$.

On considère les points $A(1; 2; -1)$, $B(0; 3; 2)$, $C(-2; 4; 0)$ et $D(8; 2; -11)$.

1. a.

Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.

1. b.

Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\ 8\\ -1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

1. c.

En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $5x + 8y - z - 22 = 0$.

1. d.

Vérifier que le point $D$ n'appartient pas au plan $(ABC)$.

2. a.

On considère la droite $\Delta$, orthogonale au plan $(ABC)$ et passant par $D$.

Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est:$$\begin{cases} x = 8 + 5t \\ y = 2 + 8t \\ z = -11 - t \end{cases}, \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.$$

2. b.

On appelle $E$ le point d'intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.

Démontrer que le point $E$ a pour coordonnées $\left(\frac{11}{2}; -2; -\frac{21}{2}\right)$.

2. c.

En déduire la valeur exacte de la longueur $DE$, distance du point $D$ au plan $(ABC)$.

3.

On note $H$ le point de coordonnées $\left(-\frac{2}{3}; \frac{10}{3}; \frac{4}{3}\right)$.

On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(BC)$ est:$$\begin{cases} x = -2k \\ y = 3 + k \\ z = 2 - 2k \end{cases}, \quad \text{avec } k \in \mathbb{R}.$$Avec un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats suivants:

a.

En utilisant les deux premiers résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, justifier que le point $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(BC)$.

b.

En exploitant les autres résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, déterminer le volume du tétraèdre $ABCD$.

On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par $\mathcal{V} = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur relative à cette base.