Exercice 4 - Affirmations 3, 4 et 5 : Géométrie d… · Bac Mathématiques Polynésie jour 1 - Remplacement 2025

Thème : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Tiré du sujet Jour 1 - Remplacement (2025)

Énoncé

Exercice 4. (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

3. Pour les trois affirmations suivantes, on considère que l'espace est muni d'un repère orthonormé (O ; i⃗, j⃗, k⃗)(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}).

Soit dd la droite de représentation paramétrique: {x=t+1y=2t+1z=−t,t∈R\begin{cases} x = t + 1 \\ y = 2t + 1 \\ z = -t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.

Soit d′d' la droite de représentation paramétrique: {x=2t′−1y=−t′+2z=t′+1,t′∈R\begin{cases} x = 2t' - 1 \\ y = -t' + 2 \\ z = t' + 1 \end{cases}, \quad t' \in \mathbb{R}.

Soit PP le plan d'équation cartésienne: 2x+y−2z+18=02x + y - 2z + 18 = 0.

Soit AA le point de coordonnées (−1 ; −3 ; 2)(-1\,;\,-3\,;\,2) et BB le point de coordonnées (−5 ; −5 ; 6)(-5\,;\,-5\,;\,6).

On appelle plan médiateur du segment [AB][AB] le plan passant par le milieu du segment [AB][AB] et orthogonal à la droite (AB)(AB).

Affirmation 3: Le point AA appartient à la droite dd.

Vraie

Fausse

Affirmation 4: Les droites dd et d′d' sont sécantes.

Vraie

Fausse

Affirmation 5: Le plan PP est le plan médiateur du segment [AB][AB].

Vraie

Fausse

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

Justification de l'affirmation 3

Réponse : Pour le point A(−1 ; −3 ; 2)A(-1\,;\,-3\,;\,2), l'égalité x=−1x = -1 donne t=−2t = -2. Alors y=2(−2)+1=−3y = 2(-2)+1 = -3 et z=−(−2)=2z = -(-2) = 2, ce qui est cohérent. Donc A∈dA \in d.

Justification de l'affirmation 4

Réponse : Le système d'intersection conduit à t′=1t' = 1 et t=0t = 0, mais la troisième équation impose −0=1+1-0 = 1 + 1 (impossible). Les droites ne se coupent pas.

Justification de l'affirmation 5

Réponse : Vecteur AB⃗=(−4 ; −2 ; 4)=−2(2 ; 1 ; −2)\vec{AB} = (-4\,;\,-2\,;\,4) = -2(2\,;\,1\,;\,-2), colinéaire au vecteur normal n⃗=(2 ; 1 ; −2)\vec{n} = (2\,;\,1\,;\,-2) de PP. Le milieu M(−3 ; −4 ; 4)M(-3\,;\,-4\,;\,4) vérifie 2(−3)+(−4)−2(4)+18=02(-3) + (-4) - 2(4) + 18 = 0, donc M∈PM \in P.

Affirmation 3 : Le point A appartient à la droite d.

Réponse : Vraie

Affirmation 4 : Les droites d et d' sont sécantes.

Réponse : Fausse

Affirmation 5 : Le plan P est le plan médiateur du segment [AB].

Réponse : Vraie

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