Exercice 4 · Bac Mathématiques Polynésie 2024 (jour 2)

Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

Réponse : $\vec{AB}=(5;-1;-13)$ et $\vec{AC}=(2;-2;-10)$. En cherchant $\lambda$ tel que $\vec{AC}=\lambda\vec{AB}$ : $2=5\lambda \Rightarrow \lambda=\frac{2}{5}$ ; $-2=-\lambda \Rightarrow \lambda=2$ ; $-10=-13\lambda \Rightarrow \lambda=\frac{10}{13}$. Les trois valeurs de $\lambda$ ne sont pas égales, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires : les points A, B, C ne sont pas alignés.

Justifier que $\vec{n}$ est normal au plan $\mathcal{P}$.

Réponse : $\vec{n}\cdot\vec{AB}=2\cdot5+(-3)\cdot(-1)+1\cdot(-13)=10+3-13=0$ et $\vec{n}\cdot\vec{AC}=2\cdot2+(-3)\cdot(-2)+1\cdot(-10)=4+6-10=0$. Donc $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), donc $\vec{n}$ est normal au plan $\mathcal{P}$.

Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $2x - 3y + z - 18 = 0$.

Réponse : Une équation cartésienne du plan est de la forme $2x-3y+z+d=0$. En utilisant le point $A(-1;-1;17)$ : $2(-1)-3(-1)+17+d=0 \Rightarrow -2+3+17+d=0 \Rightarrow d=-18$. Donc une équation du plan est $2x-3y+z-18=0$.

Déterminer un vecteur directeur de la droite $d$.

Réponse : $\vec{u}=(3;1;4)$

Déterminer par le calcul les coordonnées du point E, intersection de la droite $d$ avec le plan $\mathcal{P}$.

Réponse : $E(14;9;17)$

Démontrer que la distance entre le point de départ D et le plan $\mathcal{P}$ vaut $2\sqrt{14}$ centaines de mètres.

Réponse : $\mathrm{dist}(D,\mathcal{P})=\dfrac{|2\cdot2-3\cdot5+1\cdot1-18|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}}=\dfrac{|-28|}{\sqrt{14}}=\dfrac{28}{\sqrt{14}}=\dfrac{28\sqrt{14}}{14}=2\sqrt{14}$

Sachant qu'il reste 40 secondes avant le début du spectacle et que le drone vole en trajectoire rectiligne à $18{,}6\ \mathrm{m.s}^{-1}$, le nouveau drone peut-il arriver à temps ?

Réponse : Non, le drone ne peut pas arriver à temps : la durée minimale nécessaire est d'environ 40,2 secondes, ce qui est supérieur aux 40 secondes restantes.