Exercice 3 - Équations différentielles · Bac STI2D Physique-Chimie et Mathématiques Métropole 2024

Dans cet exercice, les questions 1, 2, 3 et 4 peuvent être traitées de façon indépendante les unes des autres.

Un parachutiste est en chute libre dans l'air jusqu'à l'instant $t = 0$ où il ouvre son parachute. Sa vitesse est alors de $50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$. On admet par la suite que sa vitesse $v$, en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, en fonction du temps $t$, en $\text{s}$, est solution de l'équation différentielle sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$:

$$(\mathrm{E}): y' = -5y + 10$$

1.

La fonction constante $g$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par $g(t) = 2$ est-elle une solution de l'équation différentielle $(\mathrm{E})$ ? Justifier la réponse.

2.

Montrer que les solutions de l'équation différentielle $(\mathrm{E})$ sur l'intervalle $[0; +\infty[$ sont les fonctions $f$ définies sur cet intervalle par $f(t) = k\mathrm{e}^{-5t} + 2$, où $k$ est un nombre réel donné.

3.

En admettant le résultat de la question précédente, montrer que la fonction $v$ est donnée sur $[0; +\infty[$ par $v(t) = 48\mathrm{e}^{-5t} + 2$.