Sujet du Bac Physique-Chimie 2022 · Métropole 1 remplacement

Exercice commun à tous les candidats (10 points)

L'ACIDE MÉTHANOÏQUE

L'acide méthanoïque, ou acide formique, est produit par des fourmis rouges qui l'utilisent pour se défendre. Il est synthétisé dans l'industrie pour être utilisé dans de nombreux domaines comme le textile, l'agroalimentaire, ou encore la fabrication de solvants.

Les objectifs de cet exercice sont d'étudier les propriétés acido-basiques de l'acide méthanoïque puis son utilisation dans la synthèse du méthanoate d'éthyle qui est un solvant organique.

Données:

couple acide-base acide méthanoïque / ion méthanoate: $\text{HCOOH(aq)} / \text{HCOO}^-\text{(aq)}$;

table de données de bandes d'absorption en spectroscopie infra-rouge (IR):

Liaison · $\text{C}=\text{O}$ · $\text{O}-\text{H}$ (acide carboxylique) · $\text{C}-\text{H}$

Nombre d'onde ($\text{cm}^{-1}$) · $1700 - 1800$ · $2500 - 3200$ · $2800 - 3000$

Allure de la bande · Forte et mince · Forte et large · Forte et mince

propriétés physico-chimiques de différentes espèces chimiques:

Espèce · Acide méthanoïque · Éthanol · Méthanoate d'éthyle · Eau

Formule brute · $\text{CH}_2\text{O}_2$ · $\text{C}_2\text{H}_6\text{O}$ · $\text{C}_3\text{H}_6\text{O}_2$ · $\text{H}_2\text{O}$

Masse molaire moléculaire · $46{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ · $46{,}1\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ · $74{,}1\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ · $18{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$

Température d'ébullition · $101\text{ }^\circ\text{C}$ · $79\text{ }^\circ\text{C}$ · $54\text{ }^\circ\text{C}$ · $100\text{ }^\circ\text{C}$

sur l'étiquette du flacon de l'acide méthanoïque concentré commercial utilisé, on lit que le titre massique minimum est de $85\text{ }\%$. La densité mesurée de ce produit est mesurée, elle vaut $1{,}19$.

Le titrage d'un volume $V = 25{,}0$ mL de solution S est réalisé et suivi par pH-métrie. La solution titrante est une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium de concentration $c_B$ égale à $0{,}20\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$. La courbe du suivi pH-métrique est donnée en figure 1.

Q1

Écrire l'équation de la réaction support du titrage.

Q2

Déterminer la valeur de la concentration en quantité de matière d'acide méthanoïque présent dans la solution S.

Q3

En déduire la valeur du titre massique d'acide méthanoïque de la bouteille utilisée. Commenter.

Exercice commun à tous les candidats (10 points)

L'ACIDE MÉTHANOÏQUE

L'acide méthanoïque, ou acide formique, est produit par des fourmis rouges qui l'utilisent pour se défendre. Il est synthétisé dans l'industrie pour être utilisé dans de nombreux domaines comme le textile, l'agroalimentaire, ou encore la fabrication de solvants.

Les objectifs de cet exercice sont d'étudier les propriétés acido-basiques de l'acide méthanoïque puis son utilisation dans la synthèse du méthanoate d'éthyle qui est un solvant organique.

Données:

couple acide-base acide méthanoïque / ion méthanoate: $\text{HCOOH(aq)} / \text{HCOO}^-\text{(aq)}$;

table de données de bandes d'absorption en spectroscopie infra-rouge (IR):

Liaison · $\text{C}=\text{O}$ · $\text{O}-\text{H}$ (acide carboxylique) · $\text{C}-\text{H}$

Nombre d'onde ($\text{cm}^{-1}$) · $1700 - 1800$ · $2500 - 3200$ · $2800 - 3000$

Allure de la bande · Forte et mince · Forte et large · Forte et mince

propriétés physico-chimiques de différentes espèces chimiques:

Espèce · Acide méthanoïque · Éthanol · Méthanoate d'éthyle · Eau

Formule brute · $\text{CH}_2\text{O}_2$ · $\text{C}_2\text{H}_6\text{O}$ · $\text{C}_3\text{H}_6\text{O}_2$ · $\text{H}_2\text{O}$

Masse molaire moléculaire · $46{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ · $46{,}1\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ · $74{,}1\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ · $18{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$

Température d'ébullition · $101\text{ }^\circ\text{C}$ · $79\text{ }^\circ\text{C}$ · $54\text{ }^\circ\text{C}$ · $100\text{ }^\circ\text{C}$

sur l'étiquette du flacon de l'acide méthanoïque concentré commercial utilisé, on lit que le titre massique minimum est de $85\text{ }\%$. La densité mesurée de ce produit est mesurée, elle vaut $1{,}19$.

On utilise les valeurs de pH mesurées au cours de ce titrage pour déterminer si l'acide méthanoïque peut être considéré comme un acide fort ou un acide faible. L'exploitation des mesures de pH permet d'obtenir la figure 2.

Q4.

Écrire l'équation de la réaction dont la constante thermodynamique d'équilibre correspond à la constante d'acidité $K_A$ du couple acide méthanoïque / ion méthanoate.

Q5.

Estimer, en expliquant la démarche, à l'aide des figures 1 et 2, la valeur de la constante d'acidité $K_A$ du couple acide méthanoïque / ion méthanoate à la température du titrage.

La valeur tabulée de la constante d'acidité associée à ce couple est égale à $1{,}75\times 10^{-4}$ à $25\ ^\circ\text{C}$.

Q6.

Identifier une des causes expliquant l'écart entre la valeur tabulée et la valeur calculée à la question Q5 de la constante d'acidité $K_A$ du couple acide méthanoïque / ion méthanoate.

On étudie une solution aqueuse d'acide méthanoïque de concentration initiale en soluté apportée $c_A$.

Q7.

Montrer que le quotient de réaction, noté $Q_r$, associé à la réaction écrite à la question Q4, s'écrit:

$$Q_r = \frac{[\text{H}_3\text{O}^+]^2}{(c_A - [\text{H}_3\text{O}^+])\cdot c^\circ}$$

avec $c^\circ$ la concentration standard.

Q8.

Montrer que l'on peut estimer la valeur de $K_A$ à une température donnée avec la relation suivante:

$$K_A = \frac{\tau_f^2\cdot c_A}{(1 - \tau_f)\cdot c^\circ}$$

avec $\tau_f$ le taux d'avancement final.

Le taux d'avancement $\tau_f$ vérifie une équation du $2^{\text{nd}}$ degré de la forme:

$$A\cdot \tau_f^2 + B\cdot \tau_f + C = 0 \quad \text{avec } A, B \text{ et } C \text{ des constantes.}$$

Le calcul du taux d'avancement est effectué à l'aide d'un programme écrit en langage Python dont un extrait est donné en figure 3.

Q9.

Compléter les lignes 11, 12 et 13 permettant au programme d'être exécuté. Détailler la démarche.

Pour une solution aqueuse d'acide méthanoïque de concentration apportée égale à $8{,}8\times 10^{-2}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$, le résultat obtenu par le programme est donné ci-dessous:

Indiquer la concentration apportée cA (en mol/L) de l'acide:0.088

Indiquer la valeur de la constante d'acidité KA:1.75e-4

Il y a 2 solutions possibles pour le taux d'avancement final:

tau1 = -0.046

tau2 = 0.044

Q10.

À partir des résultats ci-dessus du programme, déterminer en justifiant si l'acide méthanoïque peut être considéré comme un acide fort ou un acide faible dans l'eau dans les conditions de l'expérience.

Exercice commun à tous les candidats (10 points)

L'ACIDE MÉTHANOÏQUE

L'acide méthanoïque, ou acide formique, est produit par des fourmis rouges qui l'utilisent pour se défendre. Il est synthétisé dans l'industrie pour être utilisé dans de nombreux domaines comme le textile, l'agroalimentaire, ou encore la fabrication de solvants.

Les objectifs de cet exercice sont d'étudier les propriétés acido-basiques de l'acide méthanoïque puis son utilisation dans la synthèse du méthanoate d'éthyle qui est un solvant organique.

Données:

couple acide-base acide méthanoïque / ion méthanoate: $\text{HCOOH(aq)} / \text{HCOO}^-\text{(aq)}$;

table de données de bandes d'absorption en spectroscopie infra-rouge (IR):

Liaison · $\text{C}=\text{O}$ · $\text{O}-\text{H}$ (acide carboxylique) · $\text{C}-\text{H}$

Nombre d'onde ($\text{cm}^{-1}$) · $1700 - 1800$ · $2500 - 3200$ · $2800 - 3000$

Allure de la bande · Forte et mince · Forte et large · Forte et mince

propriétés physico-chimiques de différentes espèces chimiques:

Espèce · Acide méthanoïque · Éthanol · Méthanoate d'éthyle · Eau

Formule brute · $\text{CH}_2\text{O}_2$ · $\text{C}_2\text{H}_6\text{O}$ · $\text{C}_3\text{H}_6\text{O}_2$ · $\text{H}_2\text{O}$

Masse molaire moléculaire · $46{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ · $46{,}1\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ · $74{,}1\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ · $18{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$

Température d'ébullition · $101\text{ }^\circ\text{C}$ · $79\text{ }^\circ\text{C}$ · $54\text{ }^\circ\text{C}$ · $100\text{ }^\circ\text{C}$

sur l'étiquette du flacon de l'acide méthanoïque concentré commercial utilisé, on lit que le titre massique minimum est de $85\text{ }\%$. La densité mesurée de ce produit est mesurée, elle vaut $1{,}19$.

2. Synthèse du méthanoate d'éthyle à partir d'acide méthanoïque

Le méthanoate d'éthyle peut être utilisé, par exemple, comme solvant organique, mais également pour donner une odeur de rhum à un aliment.

La synthèse du méthanoate d'éthyle se fait à partir d'acide méthanoïque et d'éthanol. L'équation de la réaction modélisant cette transformation chimique peut s'écrire:

Q11.

Écrire la formule semi-développée du méthanoate d'éthyle, entourer le groupe caractéristique et nommer la famille fonctionnelle associée.

Exercice commun à tous les candidats (10 points)

L'ACIDE MÉTHANOÏQUE

L'acide méthanoïque, ou acide formique, est produit par des fourmis rouges qui l'utilisent pour se défendre. Il est synthétisé dans l'industrie pour être utilisé dans de nombreux domaines comme le textile, l'agroalimentaire, ou encore la fabrication de solvants.

Les objectifs de cet exercice sont d'étudier les propriétés acido-basiques de l'acide méthanoïque puis son utilisation dans la synthèse du méthanoate d'éthyle qui est un solvant organique.

Données:

couple acide-base acide méthanoïque / ion méthanoate: $\text{HCOOH(aq)} / \text{HCOO}^-\text{(aq)}$;

table de données de bandes d'absorption en spectroscopie infra-rouge (IR):

Liaison · $\text{C}=\text{O}$ · $\text{O}-\text{H}$ (acide carboxylique) · $\text{C}-\text{H}$

Nombre d'onde ($\text{cm}^{-1}$) · $1700 - 1800$ · $2500 - 3200$ · $2800 - 3000$

Allure de la bande · Forte et mince · Forte et large · Forte et mince

propriétés physico-chimiques de différentes espèces chimiques:

Espèce · Acide méthanoïque · Éthanol · Méthanoate d'éthyle · Eau

Formule brute · $\text{CH}_2\text{O}_2$ · $\text{C}_2\text{H}_6\text{O}$ · $\text{C}_3\text{H}_6\text{O}_2$ · $\text{H}_2\text{O}$

Masse molaire moléculaire · $46{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ · $46{,}1\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ · $74{,}1\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ · $18{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$

Température d'ébullition · $101\text{ }^\circ\text{C}$ · $79\text{ }^\circ\text{C}$ · $54\text{ }^\circ\text{C}$ · $100\text{ }^\circ\text{C}$

sur l'étiquette du flacon de l'acide méthanoïque concentré commercial utilisé, on lit que le titre massique minimum est de $85\text{ }\%$. La densité mesurée de ce produit est mesurée, elle vaut $1{,}19$.

Q12. Les spectres IR de l'acide méthanoïque et du méthanoate d'éthyle sont donnés en figure 4. Attribuer, en justifiant, chaque spectre à l'espèce chimique correspondante.

a)

Méthanoate d'éthyle

Acide méthanoïque

b)

Acide méthanoïque

Méthanoate d'éthyle

c)

Exercice commun à tous les candidats (10 points)

L'ACIDE MÉTHANOÏQUE

L'acide méthanoïque, ou acide formique, est produit par des fourmis rouges qui l'utilisent pour se défendre. Il est synthétisé dans l'industrie pour être utilisé dans de nombreux domaines comme le textile, l'agroalimentaire, ou encore la fabrication de solvants.

Les objectifs de cet exercice sont d'étudier les propriétés acido-basiques de l'acide méthanoïque puis son utilisation dans la synthèse du méthanoate d'éthyle qui est un solvant organique.

Données:

couple acide-base acide méthanoïque / ion méthanoate: $\text{HCOOH(aq)} / \text{HCOO}^-\text{(aq)}$;

table de données de bandes d'absorption en spectroscopie infra-rouge (IR):

Liaison · $\text{C}=\text{O}$ · $\text{O}-\text{H}$ (acide carboxylique) · $\text{C}-\text{H}$

Nombre d'onde ($\text{cm}^{-1}$) · $1700 - 1800$ · $2500 - 3200$ · $2800 - 3000$

Allure de la bande · Forte et mince · Forte et large · Forte et mince

propriétés physico-chimiques de différentes espèces chimiques:

Espèce · Acide méthanoïque · Éthanol · Méthanoate d'éthyle · Eau

Formule brute · $\text{CH}_2\text{O}_2$ · $\text{C}_2\text{H}_6\text{O}$ · $\text{C}_3\text{H}_6\text{O}_2$ · $\text{H}_2\text{O}$

Masse molaire moléculaire · $46{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ · $46{,}1\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ · $74{,}1\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ · $18{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$

Température d'ébullition · $101\text{ }^\circ\text{C}$ · $79\text{ }^\circ\text{C}$ · $54\text{ }^\circ\text{C}$ · $100\text{ }^\circ\text{C}$

sur l'étiquette du flacon de l'acide méthanoïque concentré commercial utilisé, on lit que le titre massique minimum est de $85\text{ }\%$. La densité mesurée de ce produit est mesurée, elle vaut $1{,}19$.

On réalise la synthèse du méthanoate d'éthyle selon le protocole suivant:

introduire dans un ballon $11{,}5\text{ g}$ d'éthanol, $11{,}5\text{ g}$ d'acide méthanoïque, 5 gouttes d'acide sulfurique concentré et quelques grains de pierre ponce;

chauffer à reflux durant $45\text{ min}$;

laisser refroidir.

Q13.

Citer un intérêt à l'utilisation d'un montage à reflux.

Pour déterminer le rendement de la synthèse, on réalise un titrage de l'acide méthanoïque restant dans le milieu réactionnel à la fin de la synthèse. On en déduit que la valeur de la quantité de matière d'acide méthanoïque restante est égale à $0{,}13\text{ mol}$.

Q14.

Calculer le rendement de cette synthèse.

%

Pour optimiser le rendement de la synthèse, on modifie certaines conditions expérimentales. Les différentes modifications sont présentées dans le tableau de la figure 5.

Voie n° · Protocole · Rendement

1 · À l'aide d'un montage à reflux, on fait réagir durant 45 minutes $0{,}50\text{ mol}$ d'éthanol, $0{,}25\text{ mol}$ d'acide méthanoïque, 5 gouttes d'acide sulfurique concentré et quelques grains de pierre ponce. · 67 %

2 · À l'aide d'un montage à reflux, on fait réagir durant 45 minutes $1{,}0\text{ mol}$ d'éthanol, $0{,}25\text{ mol}$ d'acide méthanoïque, 5 gouttes d'acide sulfurique concentré et quelques grains de pierre ponce. · 76 %

3 · À l'aide d'un montage de distillation fractionnée, on fait réagir durant 45 minutes $0{,}50\text{ mol}$ d'éthanol, $0{,}25\text{ mol}$ d'acide méthanoïque, 5 gouttes d'acide sulfurique concentré et quelques grains de pierre ponce. · 93 %

Lors de la synthèse utilisant la voie n°3, le thermomètre au sommet de la colonne de distillation (colonne de Vigreux) indique une température de $54\text{ }^\circ\text{C}$.

Q15.

À l'aide du tableau de la figure 5, identifier les conditions expérimentales mises en œuvre dans les protocoles qui permettent d'optimiser le rendement de la synthèse.

EXERCICE A - OBSERVER LES ANNEAUX DE SATURNE (5 points)

Mots-clés: lunette astronomique

Les anneaux de Saturne sont parmi les objets les plus fascinants et les plus accessibles à l'observation pour l'astronome amateur.

Selon la qualité de l'instrument d'observation, on peut distinguer plusieurs niveaux d'observation de cette planète. On présente en figure 1 les 4 premiers niveaux accessibles à l'astronome amateur:

Dans cet exercice, on s'intéresse à une lunette astronomique commerciale et on cherche à déterminer quel niveau d'observation de Saturne elle permet d'atteindre.

Données:

• dans tout l'exercice on admet l'approximation des petits angles suivante valable pour tout angle $\alpha$, exprimé en radian, très petit par rapport à 1 rad: $\tan \alpha \approx \alpha$;

• la lunette astronomique étudiée possède un objectif de distance focale $f'_1 = 700\text{ mm}$ et peut être associée à différents oculaires.

1. Modélisation optique de la lunette astronomique commerciale

La lunette astronomique que l'on propose d'étudier est modélisée par deux lentilles minces convergentes, notées $L_1$ et $L_2$, possédant le même axe optique. La modélisation de cette lunette est proposée sur la figure de l'ANNEXE, où sont indiqués le foyer objet $F_2$ de la lentille $L_2$ et les foyers images $F'_1$ et $F'_2$ des deux lentilles.

Dans cette première partie, on s'intéresse aux trajets des rayons lumineux modélisant la propagation de la lumière dans la lunette. On note $f'_2$ la distance focale de la lentille $L_2$.

Q1.

Indiquer les noms « objectif » et « oculaire » correspondant aux lentilles $L_1$ et $L_2$ sur la modélisation.

Q2.

Justifier que la lunette astronomique modélisée constitue un système optique afocal.

Q3.

Construire, sur la figure de l'ANNEXE, l'image d'un objet à l'infini vu sous un angle $\theta$, formée par la lunette astronomique, en construisant l'image intermédiaire et en faisant apparaître l'angle $\theta'$, angle sous lequel est vue l'image finale en sortie de lunette.

Q4.

Donner la définition du grossissement $G$ de la lunette astronomique en fonction des angles $\theta$ et $\theta'$.

Q5.

Établir l'expression suivante du grossissement de la lunette astronomique: $G = \dfrac{f'_1}{f'_2}$.

Q6.

En déduire la valeur de la distance focale $f'_2$ de l'oculaire à choisir afin d'obtenir une lunette astronomique dont le grossissement est de 78.

2. Observation des anneaux de Saturne

On utilise la lunette astronomique de grossissement 78 modélisée dans la partie précédente pour observer Saturne et essayer de distinguer ses anneaux.

Données:

• distance moyenne entre les centres de la Terre et de Saturne: $D = 1{,}4 \times 10^9\text{ km}$;

• distance entre la surface de Saturne et l'extrémité la plus proche de l'anneau C (anneau le plus proche considéré visible): $d_{\min} = 1{,}4 \times 10^4\text{ km}$;

• distance entre la surface de Saturne et l'extrémité la plus éloignée de l'anneau A (anneau le plus éloigné considéré visible): $d_{\max} = 7{,}7 \times 10^4\text{ km}$;

• largeur de la division de Cassini: $d_{\text{cas}} = 4{,}8 \times 10^3\text{ km}$;

• rayon de Saturne: $R_S = 5{,}8 \times 10^4\text{ km}$ considéré comme faible devant $D$.

• angle minimal à partir duquel notre œil peut distinguer deux objets très proches: $\varepsilon = 2{,}9 \times 10^{-4}\text{ rad}$.

Q7.

Décrire, en s'appuyant sur un calcul, comment apparaît Saturne à un observateur lors d'une observation à l'œil nu.

Q8.

Déterminer le niveau d'observation de Saturne (figure 1) que l'on atteint avec la lunette astronomique utilisée.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter sa démarche même si elle n'a pas abouti. La démarche suivie est évaluée et nécessite donc d'être correctement présentée.

Niveau

Exercice B - Vitesse de la station spatiale internationale

La Station Spatiale Internationale (ISS) est un satellite artificiel de la Terre, observable de la surface de la Terre sous certaines conditions. C'est ainsi que, le 24 juin 2020, dans l'état de Virginie aux États-Unis, un astrophysicien a observé et enregistré le passage de l'ISS devant le Soleil. Pendant ce passage, la station spatiale se trouve entre le Soleil et le point d'observation. En réalisant une chronophotographie, on obtient l'image reproduite sur la figure 2.

Source: NASA

Le but de cet exercice est de déterminer la vitesse de l'ISS à l'aide d'une loi de la mécanique puis en exploitant la chronophotographie et de comparer les résultats obtenus.

Données

altitude moyenne de l'ISS

$h = 419$ km

constante de gravitation universelle

$G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}$

distance Terre-Soleil

$d_{TS} = 153\times 10^{6}$ km

diamètre du Soleil

$D = 1{,}39\times 10^{6}$ km

masse de la Terre

$M_T = 5{,}97\times 10^{24}$ kg

rayon de la Terre

$R_T = 6\,371$ km

1. Détermination de la vitesse à l'aide d'une loi de la mécanique

La Station Spatiale Internationale est modélisée par un point matériel M, de masse $m$ en orbite circulaire à la distance $R$ du centre de la Terre, de masse $M_T$. La Terre est supposée à répartition sphérique de masse, de centre T. Le mouvement de l'ISS est étudié dans le référentiel géocentrique d'origine prise au centre de la Terre et dont les axes pointent en direction d'étoiles lointaines; il est supposé galiléen. On considère que seule l'interaction gravitationnelle avec la Terre est prise en compte.

Q1.

Schématiser, sans souci d'échelle, la Terre et l'ISS. Placer le repère de Frenet $(\vec{u_N}, \vec{u_T})$ et représenter la force à laquelle est soumise l'ISS.

Q2.

Donner, dans ce repère, l'expression vectorielle de la force à laquelle est soumise l'ISS.

Q3.

Déduire de la seconde loi de Newton, l'expression suivante de la vitesse $v$ de l'ISS: $$v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R}}$$

Q4.

Calculer la valeur de la vitesse $v$ de l'ISS.

2. Estimation de la vitesse de l'ISS à partir d'une chronophotographie

Le télescope utilisé pour réaliser la chronophotographie lors du passage de l'ISS devant le Soleil est situé au point O. Les positions réelles successives de la station sont repérées par des points $M_i$, $i$ allant de 0 à 5. Les points $S_i$, $i$ allant de 0 à 5, correspondent à la projection des points $M_i$ sur le disque solaire, vus de la Terre (figure 2). La distance $S_0S_5$ observée permet de déterminer la distance parcourue par l'ISS notée $M_0M_5$.

La figure 1 représente, sans souci d'échelle, la situation. Les points $M_0$ et $M_5$ correspondent aux positions extrêmes de l'ISS pendant l'observation, ainsi que leur projection sur le disque solaire $S_0$ et $S_5$. La durée du mouvement entre deux positions successives (exemple de $M_0$ à $M_1$, de $M_1$ à $M_2$...) vaut $\Delta t = 0{,}11$ s.

Figure 1. Schéma sans souci d'échelle de la situation

Dans cette partie, l'étude est réalisée dans le référentiel terrestre et les hypothèses formulées sont les suivantes: le mouvement de la station est rectiligne uniforme pendant la durée nécessaire à la réalisation de la chronophotographie; les effets des mouvements de rotation de la Terre sur elle-même et de révolution de la Terre autour du Soleil ne sont pas pris en compte; $M_0M_5$ et $S_0S_5$ sont considérés comme étant des droites.

Q5.

En exploitant notamment la chronophotographie donnée en figure 2 et le schéma de la figure 1, estimer la valeur de la vitesse $v$ de l'ISS dans le référentiel d'étude lors de l'observation. Commenter la valeur obtenue au regard de celle calculée à la question Q4. Donner au moins un argument qui justifie l'écart constaté.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter sa démarche même si elle n'a pas abouti. La démarche suivie est évaluée et nécessite donc d'être correctement présentée.

EXERCICE C – CONTRÔLE DE LA LARGEUR D'UN FIL DE SUTURE (5 points)

Mots-clés: diffraction d'une onde lumineuse

Un fil de suture en chirurgie permet de rapprocher les deux bords d'une plaie afin de faciliter la cicatrisation. Le diamètre, la forme et la composition chimique des fils sont adaptés au type de tissu à recoudre (peau, muscle, tendon, nerf, etc.) mais aussi à la durée de cicatrisation et à la taille de la plaie.

Lors de la fabrication d'un fil, les industriels peuvent notamment contrôler son diamètre à l'aide d'appareils utilisant la diffraction de la lumière d'un laser (figure 1).

Dans cet exercice, on étudie le principe physique utilisé dans un appareil de contrôle du diamètre d'un fil puis on s'intéresse à un fil de suture vendu en pharmacie.

Données:

➤ Longueur d'onde du laser utilisé: $\lambda = 532\text{ nm}$;

➤ Pour des angles $\theta$ très petits devant $1\text{ rad}$, on a: $\tan(\theta) \approx \theta$ avec $\theta$ en radian;

➤ Extrait de la nomenclature américaine dite « USP » et correspondance avec le diamètre des fils:

Système USP

0

2/0

3/0

4/0

5/0

Diamètre du fil en mm

0,350 à 0,399

0,300 à 0,349

0,200 à 0,299

0,150 à 0,199

0,100 à 0,149

1. Principe physique utilisé par un appareil de contrôle du diamètre d'un fil

Pour illustrer ce principe au laboratoire, on place, sur un banc d'optique, un laser émettant une onde de longueur d'onde $\lambda$ et un fil de diamètre $a$ connu. Un écran est placé à une distance $D$ du fil. La largeur $L$ de la tache centrale de la figure de diffraction est mesurée directement sur l'écran (figure 2).

Q1.

Indiquer qualitativement comment évolue l'angle caractéristique de diffraction $\theta$ avec le diamètre $a$ du fil.

Q2.

Écrire, à l'aide de la figure 2, la relation entre l'angle caractéristique de diffraction $\theta$ et les grandeurs $D$ et $L$.

Q3.

Établir l'expression de la largeur $L$ de la tache centrale de la figure de diffraction en fonction de $\lambda$, $D$ et $a$.

On réalise la mesure de la largeur de la tache centrale de la figure de diffraction pour sept fils de diamètres $a$ connus. On représente alors $L$ en fonction de $1/a$.

Q4.

Vérifier que les résultats expérimentaux de la figure 3 sont cohérents avec l'expression établie à la question Q3.

Q5.

Montrer que la modélisation suivante permet de rendre compte des résultats expérimentaux:

$$L = 1{,}6 \times 10^{-6} \times \frac{1}{a} \quad \text{avec } a \text{ et } L \text{ exprimés en m.}$$

2. Mesure du diamètre d'un fil de suture vendu en pharmacie

Une partie de l'étiquette du paquet contenant un fil de suture en polyamide de couleur bleue vendu en pharmacie est présentée ci-dessous.

On obtient la figure de diffraction suivante (figure 4) en utilisant le montage expérimental décrit sur la figure 2.

Q6.

En utilisant la figure 4, estimer la valeur du diamètre de ce fil de suture.

L'incertitude-type sur la valeur du diamètre expérimental du fil est donnée, dans les conditions de l'expérience, par la relation suivante:

$$u(a) = a \times \frac{u(L)}{L} \quad \text{avec } u(L) = 1 \times 10^{-3}\text{ m}$$

Q7.

Analyser le résultat de la mesure en lien avec la plage de référence indiquée sur l'étiquette du fil de suture.