Sujet du Bac Physique-Chimie 2022 · Métropole 1

EXERCICE I – LE COLORANT E127

Le colorant E127, de couleur rouge, est utilisé pour teinter certains aliments comme les cerises confites. Il est également présent dans des médicaments comme les révélateurs de plaque dentaire. C'est un composé ionique, de formule brute $\mathrm{Na_2C_{20}H_6I_4O_5}$ noté plus simplement $\mathrm{Na_2Ery}$, présent en solution sous la forme d'ions $\mathrm{Na^+}$ et $\mathrm{Ery^{2-}}$. Les ions $\mathrm{Ery^{2-}}$ constituent l'une des trois formes acide-base de l'érythrosine.

Les objectifs de l'exercice sont d'étudier le dosage de ce colorant dans un révélateur de plaque dentaire, la synthèse de la forme la plus acide, notée $\mathrm{H_2Ery}$, de l'érythrosine et la cinétique de la décoloration de celle-ci par l'eau de Javel.

Données:

Écriture simplifiée et formule topologique des différentes formes acide-base associées à l'érythrosine:

Valeurs de $\mathrm{p}K_\text{A}$ à $25\ ^\circ\text{C}$ des couples acide-base associés à l'érythrosine: $\mathrm{H_2Ery} / \mathrm{HEry^-}$: $\mathrm{p}K_\text{A1} = 2{,}4$;

$\mathrm{HEry^-} / \mathrm{Ery^{2-}}$: $\mathrm{p}K_\text{A2} = 3{,}8$.

Valeurs de masses molaires de quelques espèces: Nom · Colorant E127 · Forme la plus acide de l'érythrosine · Forme la plus acide de la fluorescéine · Diiode

Écriture simplifiée ou formule brute · $\mathrm{Na_2Ery}$ · $\mathrm{H_2Ery}$ · $\mathrm{H_2Flu}$ · $\mathrm{I_2}$

Masse molaire ($\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$) · 880 · 836 · 332 · 254

Q1. À l'aide de la formule topologique de la forme $\text{H}_2\text{Ery}$ de l'érythrosine ci-dessous, nommer les familles fonctionnelles associées aux groupes caractéristiques A, B et C.

A

B

C

EXERCICE I – LE COLORANT E127

Le colorant E127, de couleur rouge, est utilisé pour teinter certains aliments comme les cerises confites. Il est également présent dans des médicaments comme les révélateurs de plaque dentaire. C'est un composé ionique, de formule brute $\mathrm{Na_2C_{20}H_6I_4O_5}$ noté plus simplement $\mathrm{Na_2Ery}$, présent en solution sous la forme d'ions $\mathrm{Na^+}$ et $\mathrm{Ery^{2-}}$. Les ions $\mathrm{Ery^{2-}}$ constituent l'une des trois formes acide-base de l'érythrosine.

Les objectifs de l'exercice sont d'étudier le dosage de ce colorant dans un révélateur de plaque dentaire, la synthèse de la forme la plus acide, notée $\mathrm{H_2Ery}$, de l'érythrosine et la cinétique de la décoloration de celle-ci par l'eau de Javel.

Données:

Écriture simplifiée et formule topologique des différentes formes acide-base associées à l'érythrosine:

Valeurs de $\mathrm{p}K_\text{A}$ à $25\ ^\circ\text{C}$ des couples acide-base associés à l'érythrosine: $\mathrm{H_2Ery} / \mathrm{HEry^-}$: $\mathrm{p}K_\text{A1} = 2{,}4$;

$\mathrm{HEry^-} / \mathrm{Ery^{2-}}$: $\mathrm{p}K_\text{A2} = 3{,}8$.

Valeurs de masses molaires de quelques espèces: Nom · Colorant E127 · Forme la plus acide de l'érythrosine · Forme la plus acide de la fluorescéine · Diiode

Écriture simplifiée ou formule brute · $\mathrm{Na_2Ery}$ · $\mathrm{H_2Ery}$ · $\mathrm{H_2Flu}$ · $\mathrm{I_2}$

Masse molaire ($\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$) · 880 · 836 · 332 · 254

Q2. Identifier, en justifiant, la forme de l'érythrosine qui prédomine dans le révélateur de plaque dentaire étudié (de $\text{pH} = 7{,}0$).

EXERCICE I – LE COLORANT E127

Le colorant E127, de couleur rouge, est utilisé pour teinter certains aliments comme les cerises confites. Il est également présent dans des médicaments comme les révélateurs de plaque dentaire. C'est un composé ionique, de formule brute $\mathrm{Na_2C_{20}H_6I_4O_5}$ noté plus simplement $\mathrm{Na_2Ery}$, présent en solution sous la forme d'ions $\mathrm{Na^+}$ et $\mathrm{Ery^{2-}}$. Les ions $\mathrm{Ery^{2-}}$ constituent l'une des trois formes acide-base de l'érythrosine.

Les objectifs de l'exercice sont d'étudier le dosage de ce colorant dans un révélateur de plaque dentaire, la synthèse de la forme la plus acide, notée $\mathrm{H_2Ery}$, de l'érythrosine et la cinétique de la décoloration de celle-ci par l'eau de Javel.

Données:

Écriture simplifiée et formule topologique des différentes formes acide-base associées à l'érythrosine:

Valeurs de $\mathrm{p}K_\text{A}$ à $25\ ^\circ\text{C}$ des couples acide-base associés à l'érythrosine: $\mathrm{H_2Ery} / \mathrm{HEry^-}$: $\mathrm{p}K_\text{A1} = 2{,}4$;

$\mathrm{HEry^-} / \mathrm{Ery^{2-}}$: $\mathrm{p}K_\text{A2} = 3{,}8$.

Valeurs de masses molaires de quelques espèces: Nom · Colorant E127 · Forme la plus acide de l'érythrosine · Forme la plus acide de la fluorescéine · Diiode

Écriture simplifiée ou formule brute · $\mathrm{Na_2Ery}$ · $\mathrm{H_2Ery}$ · $\mathrm{H_2Flu}$ · $\mathrm{I_2}$

Masse molaire ($\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$) · 880 · 836 · 332 · 254

1. Dosage du colorant E127 dans un révélateur de plaque dentaire

Q3. Justifier la couleur rouge du révélateur de plaque dentaire étudié à l'aide de son spectre d'absorption UV-visible.

EXERCICE I – LE COLORANT E127

Le colorant E127, de couleur rouge, est utilisé pour teinter certains aliments comme les cerises confites. Il est également présent dans des médicaments comme les révélateurs de plaque dentaire. C'est un composé ionique, de formule brute $\mathrm{Na_2C_{20}H_6I_4O_5}$ noté plus simplement $\mathrm{Na_2Ery}$, présent en solution sous la forme d'ions $\mathrm{Na^+}$ et $\mathrm{Ery^{2-}}$. Les ions $\mathrm{Ery^{2-}}$ constituent l'une des trois formes acide-base de l'érythrosine.

Les objectifs de l'exercice sont d'étudier le dosage de ce colorant dans un révélateur de plaque dentaire, la synthèse de la forme la plus acide, notée $\mathrm{H_2Ery}$, de l'érythrosine et la cinétique de la décoloration de celle-ci par l'eau de Javel.

Données:

Écriture simplifiée et formule topologique des différentes formes acide-base associées à l'érythrosine:

Valeurs de $\mathrm{p}K_\text{A}$ à $25\ ^\circ\text{C}$ des couples acide-base associés à l'érythrosine: $\mathrm{H_2Ery} / \mathrm{HEry^-}$: $\mathrm{p}K_\text{A1} = 2{,}4$;

$\mathrm{HEry^-} / \mathrm{Ery^{2-}}$: $\mathrm{p}K_\text{A2} = 3{,}8$.

Valeurs de masses molaires de quelques espèces: Nom · Colorant E127 · Forme la plus acide de l'érythrosine · Forme la plus acide de la fluorescéine · Diiode

Écriture simplifiée ou formule brute · $\mathrm{Na_2Ery}$ · $\mathrm{H_2Ery}$ · $\mathrm{H_2Flu}$ · $\mathrm{I_2}$

Masse molaire ($\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$) · 880 · 836 · 332 · 254

Dosage spectrophotométrique par étalonnage:

Afin de vérifier l'indication selon laquelle le révélateur de plaque dentaire est une solution hydroalcoolique contenant le colorant E127 à 2 % en masse, on réalise les expériences décrites ci-dessous.

Préparation de la solution à doser: on introduit $0{,}5\text{ mL}$ de révélateur de plaque dentaire dans une fiole jaugée de $2{,}0\text{ L}$ que l'on complète avec de l'eau distillée: on obtient la solution S.

Mesure: on mesure l'absorbance de chacune des six solutions étalons (figure 1). On mesure l'absorbance de la solution S à la même longueur d'onde; on obtient $A = 0{,}48$.

Q4. Après avoir montré que la concentration du colorant E127 apporté dans le révélateur de plaque dentaire est égale à $2{,}2\cdot 10^{-2}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$, déterminer la valeur du titre massique en colorant E127 du révélateur de plaque dentaire analysé. Commenter.

a)

b)

c)

d)

EXERCICE I – LE COLORANT E127

Le colorant E127, de couleur rouge, est utilisé pour teinter certains aliments comme les cerises confites. Il est également présent dans des médicaments comme les révélateurs de plaque dentaire. C'est un composé ionique, de formule brute $\mathrm{Na_2C_{20}H_6I_4O_5}$ noté plus simplement $\mathrm{Na_2Ery}$, présent en solution sous la forme d'ions $\mathrm{Na^+}$ et $\mathrm{Ery^{2-}}$. Les ions $\mathrm{Ery^{2-}}$ constituent l'une des trois formes acide-base de l'érythrosine.

Les objectifs de l'exercice sont d'étudier le dosage de ce colorant dans un révélateur de plaque dentaire, la synthèse de la forme la plus acide, notée $\mathrm{H_2Ery}$, de l'érythrosine et la cinétique de la décoloration de celle-ci par l'eau de Javel.

Données:

Écriture simplifiée et formule topologique des différentes formes acide-base associées à l'érythrosine:

Valeurs de $\mathrm{p}K_\text{A}$ à $25\ ^\circ\text{C}$ des couples acide-base associés à l'érythrosine: $\mathrm{H_2Ery} / \mathrm{HEry^-}$: $\mathrm{p}K_\text{A1} = 2{,}4$;

$\mathrm{HEry^-} / \mathrm{Ery^{2-}}$: $\mathrm{p}K_\text{A2} = 3{,}8$.

Valeurs de masses molaires de quelques espèces: Nom · Colorant E127 · Forme la plus acide de l'érythrosine · Forme la plus acide de la fluorescéine · Diiode

Écriture simplifiée ou formule brute · $\mathrm{Na_2Ery}$ · $\mathrm{H_2Ery}$ · $\mathrm{H_2Flu}$ · $\mathrm{I_2}$

Masse molaire ($\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$) · 880 · 836 · 332 · 254

2. Synthèse de l'érythrosine à partir de la fluorescéine

L'érythrosine peut être synthétisée à partir d'un autre colorant, la fluorescéine, en présence d'acide iodique et d'éthanol; l'équation de la réaction modélisant cette synthèse est donnée ci-dessous:

Dans une publication scientifique, on trouve les informations suivantes:

Les différentes étapes d'un protocole de synthèse de l'érythrosine:

Étape n°1: réaliser la synthèse de la forme $\text{H}_2\text{Ery}$ de l'érythrosine à partir de $5{,}0\text{ g}$ de fluorescéine $\text{H}_2\text{Flu}$ et de $9{,}5\text{ g}$ de diiode $\text{I}_2$, en présence d'éthanol et d'acide iodique; chauffer et agiter le mélange pendant deux heures à une température de $60\text{ }^\circ\text{C}$;

Étape n°2: après refroidissement, filtrer le mélange à l'aide d'un filtre Büchner puis laver le solide rouge obtenu avec de l'eau et de l'éthanol;

Étape n°3: mesurer la température de fusion du solide rouge obtenu.

La valeur du rendement $r$ de la synthèse: $r = 59\,\%$.

D'après N. Pietrancosta et al. / Bioorganic & Medicinal Chemistry 18 (2010) 6922–6933

Q5.

Identifier le rôle des étapes n°1, n°2 et n°3 du protocole expérimental de synthèse de l'érythrosine.

Q6.

Identifier l'opération du protocole expérimental réalisée pour optimiser la vitesse de formation de l'érythrosine.

Q7.

Déterminer le réactif limitant de la synthèse de l'érythrosine.

Q8.

Montrer que la masse d'érythrosine de forme $\text{H}_2\text{Ery}$ obtenue expérimentalement est d'environ $4{,}6\text{ g}$.

Q9.

Déterminer le nombre de flacons de $10\text{ mL}$ de révélateur de plaque dentaire, de $\text{pH}$ égal à $7$ et de concentration égale à $2{,}2\times 10^{-2}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$ en colorant E127, qu'il est possible de fabriquer grâce à cette synthèse.

EXERCICE I – LE COLORANT E127

Le colorant E127, de couleur rouge, est utilisé pour teinter certains aliments comme les cerises confites. Il est également présent dans des médicaments comme les révélateurs de plaque dentaire. C'est un composé ionique, de formule brute $\mathrm{Na_2C_{20}H_6I_4O_5}$ noté plus simplement $\mathrm{Na_2Ery}$, présent en solution sous la forme d'ions $\mathrm{Na^+}$ et $\mathrm{Ery^{2-}}$. Les ions $\mathrm{Ery^{2-}}$ constituent l'une des trois formes acide-base de l'érythrosine.

Les objectifs de l'exercice sont d'étudier le dosage de ce colorant dans un révélateur de plaque dentaire, la synthèse de la forme la plus acide, notée $\mathrm{H_2Ery}$, de l'érythrosine et la cinétique de la décoloration de celle-ci par l'eau de Javel.

Données:

Écriture simplifiée et formule topologique des différentes formes acide-base associées à l'érythrosine:

Valeurs de $\mathrm{p}K_\text{A}$ à $25\ ^\circ\text{C}$ des couples acide-base associés à l'érythrosine: $\mathrm{H_2Ery} / \mathrm{HEry^-}$: $\mathrm{p}K_\text{A1} = 2{,}4$;

$\mathrm{HEry^-} / \mathrm{Ery^{2-}}$: $\mathrm{p}K_\text{A2} = 3{,}8$.

Valeurs de masses molaires de quelques espèces: Nom · Colorant E127 · Forme la plus acide de l'érythrosine · Forme la plus acide de la fluorescéine · Diiode

Écriture simplifiée ou formule brute · $\mathrm{Na_2Ery}$ · $\mathrm{H_2Ery}$ · $\mathrm{H_2Flu}$ · $\mathrm{I_2}$

Masse molaire ($\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$) · 880 · 836 · 332 · 254

3. Suivi cinétique de la décoloration d'une solution de colorant E127 par l'eau de Javel

Le filtre Büchner utilisé lors de la synthèse précédente est coloré par les résidus de colorant E127 rouge. Pour le décolorer, on peut utiliser de l'eau de Javel.

En effet, la forme $Ery^{2-}$ de l'érythrosine réagit avec les ions hypochlorite $C\ell O^-$ contenus dans l'eau de Javel pour former un produit incolore. Cette réaction est supposée totale.

On réalise, à 25 °C, les deux expériences A et B décrites ci-après: dans des béchers de 50 mL, deux solutions sont préparées à partir d'une solution commerciale d'eau de Javel de concentration en ions hypochlorite égale à 0,73 mol·L⁻¹:

Solution · $S_A$ · $S_B$

Volume d'eau de Javel (mL) · 5 · 10

Volume d'eau distillée (mL) · 5 · 0

Pour l'expérience A: à la date t = 0 s, on verse dans le bécher contenant la solution $S_A$ un volume de 10,0 mL d'une solution aqueuse de colorant E127 de concentration en soluté apporté égale à $1{,}7\times 10^{-5}$ mol·L⁻¹; on remplit rapidement une cuve spectrophotométrique avec le mélange réactionnel, on l'introduit dans un spectrophotomètre réglé à une longueur d'onde appropriée et on relève les valeurs d'absorbance en fonction du temps.

Pour l'expérience B, on recommence les mêmes opérations avec la solution $S_B$.

Dans chacun des mélanges réactionnels préparés, l'érythrosine est présente sous la seule forme $Ery^{2-}$ et cette forme est la seule espèce qui absorbe à la longueur d'onde choisie.

Les résultats obtenus permettent de tracer la courbe d'évolution de la concentration en quantité de matière de la forme $Ery^{2-}$ de l'érythrosine pour l'expérience A et B (figure 2).

Q10.

Décrire qualitativement, en exploitant la figure 2, l'évolution de la vitesse volumique de disparition de la forme $Ery^{2-}$ de l'érythrosine au cours du temps pour l'expérience A. Proposer un facteur cinétique à l'origine de cette évolution.

Q11.

Déterminer graphiquement le temps de demi-réaction pour l'expérience A. Commenter.

Q12.

Expliquer comment il est possible d'optimiser la décoloration du filtre Büchner.

L'art du jonglage est la plus ancienne des disciplines de cirque connue; son origine remonte à l'Égypte ancienne. Le but de cet exercice est d'étudier le mouvement d'une balle lors d'une démonstration filmée.

On étudie, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le mouvement d'une balle de jonglage de masse $m$ et de centre de masse C.

Donnée: intensité de la pesanteur $g = 9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$

La figure 1 est extraite d'une vidéo au cours de laquelle une personne jongle avec plusieurs balles. On suit le mouvement d'une balle.

Dans cette étude: on note $(x;y)$ les coordonnées de la position de C dans le repère $(O;x;y)$ et $(v_x;v_y)$ celles de sa vitesse; les évolutions temporelles $y(t)$ et $v_y(t)$ sont respectivement représentées sur les figures 2a et 2b qui font apparaître alternativement des phases notées ① et ②; à la date $t=0$ s la balle, située à l'origine du repère, quitte pour la première fois la main du jongleur avec une vitesse initiale $\vec{v_0}$; lorsque la balle n'est pas en contact avec la main du jongleur, elle est en chute libre. Elle effectue alors un mouvement parabolique en passant d'une main à l'autre, la réception et le lancer se faisant toujours en $y = 0$ m; la référence de l'énergie potentielle de pesanteur est choisie à l'ordonnée $y = 0$ m.

Dans toute la suite de l'exercice (à partir de Q5), on ne s'intéresse qu'à la phase ①.

Q1.

Décrire qualitativement, selon l'axe Oy, le mouvement de la balle lors de la phase ① à l'aide des figures 2a et 2b.

Q2.

Interpréter la figure 2a pour décrire le rôle de la main sur le mouvement de la balle lors de la phase ②.

Q3.

Justifier à l'aide de la deuxième loi de Newton, dans le cadre du modèle de la chute libre, que la valeur de la composante $v_x$ de la vitesse est constante et égale à la vitesse initiale $v_{0x}$ lorsque la balle n'est plus en contact avec la main du jongleur.

Q4.

Exprimer l'énergie mécanique initiale $E_{m0}$ de la balle en fonction de sa masse $m$ et des composantes $v_{0x}$ et $v_{0y}$ de la vitesse initiale dans le référentiel terrestre.

Q5.

À l'aide d'un raisonnement énergétique appliqué lors de la phase ①, établir que l'expression de l'altitude maximale $H$ atteinte par la balle s'écrit $H = \dfrac{v_{0y}^2}{2g}$.

Q6.

Déterminer la valeur de $H$ à partir de la relation précédente et d'une lecture graphique de $v_{0y}$ sur la figure 2b. Comparer le résultat à celui obtenu par lecture graphique de la figure 2a.

Q7.

Établir l'expression littérale de la coordonnée $v_y(t)$ du vecteur vitesse de la balle lors de la phase ①.

Q8.

Évaluer l'intensité de la pesanteur $g$ à l'aide de la figure 2b lors de la phase ①. Commenter.

Q9.

Déterminer l'équation horaire $y(t)$ du mouvement du centre de la balle lors de la phase ①.

Q10.

On note $t_{air}$ la durée pendant laquelle la balle est en l'air lors de la phase ①. Établir l'expression de $t_{air}$ en fonction de $v_{0y}$ et de $g$. En déduire que l'expression du temps de vol dans l'air d'une balle s'écrit $t_{air} = \sqrt{\dfrac{8H}{g}}$.

Q11.

Calculer la valeur de $t_{air}$ en utilisant la valeur de $H$ obtenue par lecture graphique de la figure 2a. Commenter.

Réponses enregistrées. Consultez la solution détaillée pour chaque question.

Exercice B - REFROIDISSEMENT D'UN FER À CHEVAL (5 points)

MOTS-CLÉS: premier principe de la thermodynamique, loi de Newton de la thermique

Le maréchal-ferrant est un artisan spécialisé dans le ferrage des chevaux; il pose un fer sous chaque sabot du cheval afin de les protéger.

Un fer à cheval doit être parfaitement adapté à la morphologie du sabot du cheval pour que celui-ci ne se blesse pas. Cela nécessite un ensemble d'opérations réalisées lors de la pose du fer par le maréchal-ferrant: le fer est chauffé à une température d'environ $900\text{ }^{\circ}\text{C}$ dans une forge pour être malléable. À l'aide d'un marteau, il est ensuite déformé pour s'ajuster à la forme du sabot.

Données:

$\blacktriangleright$ température du fer à la sortie de la forge: $\theta_0 = 900\text{ }^{\circ}\text{C}$;

$\blacktriangleright$ volume du fer à cheval: $V_{\text{Fer}} = 104\text{ cm}^3$;

$\blacktriangleright$ masse volumique du fer, supposée indépendante de la température: $\rho_{\text{Fer}} = 7{,}87\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}$;

$\blacktriangleright$ surface extérieure du fer à cheval: $S = 293\text{ cm}^2$;

$\blacktriangleright$ température ambiante extérieure: $\theta_{\text{Ext}} = 15\text{ }^{\circ}\text{C}$;

$\blacktriangleright$ capacité thermique massique du fer supposée indépendante de la température: $c_{\text{Fer}} = 440\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$;

$\blacktriangleright$ loi de Newton donnant l'expression du flux thermique reçu par le système {fer à cheval}, de température $\theta$ en provenance de l'air extérieur, de température $\theta_{\text{Ext}}$:$$\Phi = h \cdot S \cdot (\theta_{\text{Ext}} - \theta)$$avec $h$ le coefficient de transfert thermique surfacique et $S$ la surface d'échange: - dans l'air: $h_{\text{air}} = 14\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}$;

- dans l'eau froide: $h_{\text{eau}} = 360\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}$.

1. Chauffage du fer

Lors du chauffage du fer à cheval pour le rendre plus malléable, sa température passe de la température ambiante $\theta_{\text{Ext}} = 15\text{ }^{\circ}\text{C}$ à $\theta_0 = 900\text{ }^{\circ}\text{C}$.

Q1.

Déterminer la valeur de la masse $m_{\text{Fer}}$ du fer à cheval.

Q2.

Calculer la variation d'énergie interne $\Delta U$ du fer à cheval lors de cette étape.

Q3.

Interpréter au niveau microscopique la variation d'énergie interne $\Delta U$ du fer à cheval.

2. Refroidissement du fer

Lorsque le fer est à la température souhaitée de $900\text{ }^{\circ}\text{C}$, le maréchal-ferrant le sort de la forge et le façonne à l'aide d'un marteau pendant une minute environ. Il s'installe ensuite près du cheval et il s'écoule à nouveau environ une minute.

Le fer, encore chaud, est alors posé quelques secondes sur la face inférieure du sabot, ce qui est sans douleur pour l'animal, mais brûle la corne en laissant une trace. Cela permet au maréchal-ferrant de juger si la forme est satisfaisante. Si c'est le cas, il refroidit rapidement le fer en le trempant dans l'eau puis le fixe définitivement sur le sabot à l'aide de clous.

2.1. Refroidissement à l'air libre

On considère que les transferts thermiques entre le fer à cheval et le milieu extérieur suivent la loi de Newton. Le système étudié est le fer à cheval.

Q4.

Le maréchal-ferrant martèle le fer à cheval dans l'air. Appliquer le premier principe de la thermodynamique pour le système étudié entre les instants $t$ et $t + \Delta t$; la durée $\Delta t$ étant supposée faible devant une durée caractéristique d'évolution de la température et la température variant de $\theta(t)$ à $\theta(t + \Delta t)$.

En déduire que l'équation différentielle régissant l'évolution de la température du fer à cheval peut s'écrire sous la forme:$$\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t} + \frac{\theta}{\tau} = \frac{\theta_{\text{Ext}}}{\tau} \quad \text{avec} \quad \tau = \frac{m_{\text{Fer}} \cdot c_{\text{Fer}}}{h_{\text{air}} \cdot S}$$

Dans ces conditions $\tau = 880\text{ s}$.

L'équation différentielle précédente admet pour solution la fonction:$$\theta(t) = (\theta_0 - \theta_{\text{Ext}}) \cdot \text{e}^{-\frac{t}{\tau}} + \theta_{\text{Ext}}$$

Q5.

Vérifier que la fonction proposée $\theta(t)$ est bien solution de l'équation différentielle précédente.

Q6.

Calculer la valeur de la température du fer au moment où le maréchal-ferrant le pose sur la face inférieure du sabot du cheval. Commenter.

2.2. Refroidissement dans l'eau avant la pose.

Pour accélérer le refroidissement du fer afin de le poser rapidement sur le sabot, le maréchal-ferrant plonge le fer encore chaud à la température de $600\text{ }^{\circ}\text{C}$ dans un récipient contenant de l'eau à température ambiante de $15\text{ }^{\circ}\text{C}$ que l'on considère comme constante.

Q7.

En adaptant la solution obtenue dans le cadre du modèle précédent, estimer la valeur de la durée nécessaire pour que le fer soit refroidi à une température $\theta_{\text{finale}} = 40\text{ }^{\circ}\text{C}$ à laquelle l'artisan pourra poser le fer à l'aide de clous sur le sabot du cheval.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

Q8.

Dans la réalité, 20 secondes suffisent pour refroidir le fer dans de l'eau à $15\text{ }^{\circ}\text{C}$. Commenter.

Exercice C – Défibrillateur cardiaque (5 points)

MOT-CLÉ: modèle du circuit RC série

D'après une étude menée par l'université de Lille en 2018, chaque année, environ 46 000 arrêts cardiaques se produisent en dehors des hôpitaux. C'est pourquoi les établissements accueillant du public sont progressivement tenus d'installer un défibrillateur cardiaque.

Cet appareil permet d'appliquer un choc électrique sur le thorax d'un patient dont le cœur se contracte de façon irrégulière et inefficace.

L'objectif de cet exercice est de comprendre le fonctionnement d'un défibrillateur au travers d'un modèle simplifié.

Un défibrillateur installé en lycée

Le circuit électrique d'un défibrillateur cardiaque peut être modélisé de façon simplifiée par le circuit représenté en figure 1 contenant:

un circuit de charge constitué de l'association en série d'un générateur de tension $E$, d'un conducteur ohmique de résistance $r$ et d'un condensateur de capacité $C$;

un circuit de décharge constitué du condensateur chargé et d'un conducteur ohmique de résistance $R$ équivalente à celle du thorax du patient;

un interrupteur à deux positions (1 ou 2) qui permet de fermer soit le circuit de charge soit le circuit de décharge.

On s'intéresse à la charge du condensateur du défibrillateur. À la date $t=0$ s, l'utilisateur déclenche la charge du condensateur de capacité $C$ considéré comme initialement totalement déchargé.

Q1.

Indiquer dans quelle position est basculé l'interrupteur pour réaliser la charge du condensateur du circuit schématisé figure 1.

Q2.

À l'aide de la loi des mailles, montrer que l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur lors de sa charge est:

$$r\cdot C\cdot\frac{\mathrm{d}u_C(t)}{\mathrm{d}t} + u_C(t) = E$$

Q3.

Vérifier que la solution de cette équation différentielle est $u_C(t) = E\times\left(1-e^{-\frac{t}{\tau_{charge}}}\right)$ en précisant l'expression et l'unité de la constante $\tau_{charge}$.

Q4.

Tracer l'allure de la courbe donnant l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur lors de sa charge, en précisant les valeurs de $u_C(t)$ à $t=0$ s et au bout d'un temps très long.

Q5.

Montrer qu'à la date $t_1 = 5\times\tau_{charge}$, la tension aux bornes du condensateur $u_C(t)$ a atteint 99 % de sa valeur finale.

On s'intéresse maintenant à la décharge du condensateur et on réalise le montage de la figure 1 avec un conducteur ohmique de résistance $R = 10\ \text{k}\Omega$ et un condensateur de capacité $C = 1{,}5\ \mu F$, permettant d'avoir un temps caractéristique proche de celui d'un défibrillateur commercial.

On suit l'évolution de la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur initialement chargé. La courbe expérimentale obtenue est représentée en ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE.

Q6.

Déterminer graphiquement l'instant $t_2$ où l'interrupteur a été basculé de la position 1 à la position 2.

Q7.

En faisant apparaître clairement la démarche sur l' ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, évaluer graphiquement le temps caractéristique de décharge $\tau_{graph}$. Commenter.

Sur la notice d'un défibrillateur commercial, les valeurs suivantes sont annoncées:

durée totale de charge: moins de 10 secondes;

durée de délivrance du choc: moins de 4 secondes;

tension appliquée à la victime adulte: environ 2 000 V;

valeur de la capacité $C = 170\ \mu F$.

Q8.

Sachant que, dans ces conditions d'utilisation, la résistance électrique offerte par le corps d'un adulte est comprise entre 50 Ω et 150 Ω, estimer la durée nécessaire pour que la décharge du condensateur du défibrillateur soit considérée comme totale. Commenter.