Exercice 3 - Question 2 : Loi binomiale · Bac Mathématiques Métropole 2022 (sujet 1)

Exercice 3 [7 points] — Thème: probabilités

Le directeur d'une grande entreprise a proposé à l'ensemble de ses salariés un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel.

Ce stage a été suivi par 25 % des salariés.

2. On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de 20 salariés de cette entreprise choisis au hasard associe le nombre de salariés de cet échantillon ayant suivi le stage. On suppose que l'effectif des salariés de l'entreprise est suffisamment important pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.

a.

Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$.

b.

Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que 5 salariés dans un échantillon de 20 aient suivi le stage.

c.

Le programme ci-dessous, écrit en langage Python, utilise la fonction binomiale(i, n, p) créée pour l'occasion qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X = i)$ dans le cas où la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

Déterminer, à $10^{-3}$ près, la valeur renvoyée par ce programme lorsque l'on saisit proba(5) dans la console Python. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

d.

Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'au moins 6 salariés dans un échantillon de 20 aient suivi le stage.