Exercice 1 - Partie II · Bac Mathématiques Métropole 2021 (sujet 1)

Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons:

10 % des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l'issue duquel 60 % d'entre eux sont finalement admis à l'école.

Les candidats n'ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l'issue de laquelle 20 % d'entre eux sont admis à l'école.

Partie II

1. On admet que la probabilité pour un candidat d'être admis à l'école est égale à $0{,}24$.

On considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l'école parmi les sept tirés au sort.

a.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de cette loi ?

$n =$

$p =$

b.

Calculer la probabilité qu'un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l'école. On donnera une réponse arrondie au centième.

c.

Calculer la probabilité qu'au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. On donnera une réponse arrondie au centième.

2. Un lycée présente $n$ candidats au recrutement dans cette école, où $n$ est un entier naturel non nul.

On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d'être admis à l'école est égale à $0{,}24$ et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.

a.

Donner l'expression, en fonction de $n$, de la probabilité qu'aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l'école.

b.

À partir de quelle valeur de l'entier $n$ la probabilité qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école est-elle supérieure ou égale à $0{,}99$ ?