Exercice 1 - Loi binomiale · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2022

Dans le magasin d’Hugo, les clients peuvent louer deux types de vélos: vélos de route ou bien vélos tout terrain. Chaque type de vélo peut être loué dans sa version électrique ou non.

On choisit un client du magasin au hasard, et on admet que:

Si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,4;

Si le client loue un vélo tout terrain, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,7;

La probabilité que le client loue un vélo électrique est de 0,58.

On appelle $\alpha$ la probabilité que le client loue un vélo de route, avec $0 \le \alpha \le 1$.

On considère les événements suivants:

$R$: « le client loue un vélo de route »;

$E$: « le client loue un vélo électrique »;

$\overline{R}$ et $\overline{E}$, événements contraires de $R$ et $E$.

On modélise cette situation aléatoire à l'aide de l'arbre reproduit ci-dessous:

Si $F$ désigne un événement quelconque, on notera $p(F)$ la probabilité de $F$.

6. Lorsqu'on choisit 30 clients d'Hugo au hasard, on assimile ce choix à un tirage avec remise. On note $Y$ la variable aléatoire associant à un échantillon de 30 clients choisis au hasard le nombre de clients qui louent un vélo électrique.

On rappelle que la probabilité de l'événement $E$ est: $p(E) = 0{,}58$.

a.

Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

$n =$

$p =$

b.

Déterminer la probabilité qu'un échantillon contienne exactement 20 clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.

c.

Déterminer la probabilité qu'un échantillon contienne au moins 15 clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.