Exercice 3 - Partie B · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2023

Exercice 3 (4 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.

Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.

Dans une population, ce test donne les résultats suivants:

Si un individu est allergique, le test est positif dans 97 % des cas;

Si un individu n'est pas allergique, le test est négatif dans 95,7 % des cas.

Par ailleurs, 20 % des individus de la population concernée présentent un test positif.

On choisit au hasard un individu dans la population, et on note:

$A$ l'événement « l'individu est allergique »;

$T$ l'événement « l'individu présente un test positif ».

On notera $\overline{A}$ et $\overline{T}$ les événements contraires de $A$ et $T$.

On appelle par ailleurs $x$ la probabilité de l'événement $A: x = p(A)$.

Partie B

On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant 150 habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.

On sait que la probabilité qu'un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à $0{,}08$.

On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de 150 habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.

1.

Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres.

2.

Déterminer la probabilité que 20 personnes exactement parmi les 150 interrogées soient allergiques.

3.

Déterminer la probabilité qu'au moins 10% des personnes parmi les 150 interrogées soient allergiques.