Exercice 2 - Loi binomiale · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2022

Un hôtel situé à proximité d'un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d'un musée et celle d'une grotte.

Une étude a montré que 70% des clients de l'hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, 60% visitent la grotte.

Cette étude montre aussi que 6% des clients de l'hôtel ne font aucune visite.

On interroge au hasard un client de l'hôtel et on note:

$M$ l'événement: « le client visite le musée »;

$G$ l'événement: « le client visite la grotte ».

On note $\overline{M}$ l'événement contraire de $M$, $\overline{G}$ l'événement contraire de $G$, et pour tout événement $E$, on note $p(E)$ la probabilité de $E$.

Ainsi, d'après l'énoncé, on a: $p(\overline{M} \cap \overline{G}) = 0{,}06$.

On choisit au hasard 100 clients de l'hôtel, en assimilant ce choix à un tirage avec remise.

Quelle est la probabilité qu'au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte à l'occasion de leur séjour à l'hôtel ? On donnera une valeur du résultat à $10^{-3}$ près.