Exercice 2 - Partie II · Bac Mathématiques Métropole Candidat libre 2021 (sujet 1)

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que $5\,\%$ des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles: « positif » ou bien « négatif ».

On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne.

On note $p(E)$ la probabilité d’un événement $E$.

On considère les événements suivants:

$D$: « la pièce est défectueuse »;

$T$: « la pièce présente un test positif »;

$\overline{D}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $D$ et $T$.

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que:

La probabilité qu’une pièce présente un test positif sachant qu’elle défectueuse est égale à $0{,}98$;

La probabilité qu’une pièce présente un test négatif sachant qu’elle n’est pas défectueuse est égale à $0{,}97$.

Les parties I et II peuvent être traitées de façon indépendante.

PARTIE II

On choisit un échantillon de 20 pièces dans la production de la chaîne, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.

On rappelle que: $p(D) = 0{,}05$.

1.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.

2.

Calculer la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse. On donnera un résultat arrondi au centième.

3.

Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat obtenu.