Exercice 2 - Partie B (questions 1 et 2) · Bac Mathématiques Métropole 2026 (sujet 2)

Exercice 2 (5 points)

Un bassin destiné à l’élevage des truites contient 30 000 litres d’eau, régulièrement renouvelée.

Pour vérifier la présence éventuelle de substances polluantes dans le bassin, on procède à des analyses régulières.

On étudie dans les deux parties ci-dessous un cas de contamination de l’eau par une substance polluante à l’aide de deux modèles différents.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie B: modèle continu

On note $v(t)$ le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin à l'instant $t$, en heure.

On admet que la fonction $v$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0; +\infty[$, et on note $v'$ sa fonction dérivée.

On considère que le phénomène de pollution débute au temps $t = 0$; ainsi $v(0) = 0$.

On admet que la fonction $v$ est solution de l'équation différentielle:

$$(E): y' = -0{,}005y + 6$$

où $y$ est une fonction inconnue et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

1. a.

Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E) sur $[0; +\infty[$.

1. b.

Montrer que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0; +\infty[$: $v(t) = 1200(1 - \text{e}^{-0{,}005t})$.

1. c.

Calculer la limite de $v$ en $+\infty$.

1. d.

Déterminer le sens de variation de la fonction $v$ sur l'intervalle $[0; +\infty[$.

2.

Un taux de substance polluante supérieur à 5 % du volume du bassin nécessite un nettoyage complet. Selon ce modèle, le propriétaire devra-t-il procéder à ce nettoyage ?