Exercice 3 - Partie A · Bac Mathématiques Métropole 2026 (sujet 1)

On étudie le fonctionnement d'un système de chauffage installé dans une pièce.

Ce système se déclenche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à 18 °C (degrés Celsius), et s'éteint lorsqu'elle atteint 20 °C.

Partie A: Phase de chauffage

Pour une température de la pièce variant de 18 °C à 20 °C, le système de chauffage fonctionne en continu. La température de la pièce augmente progressivement.

Dans cette partie, on modélise la température de la pièce, en degré Celsius, à l'instant $t$, exprimé en dizaines de minutes, par une fonction $T$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$.

On admet que la fonction $T$ est:

dérivable sur $[0\,;\,+\infty[$;

solution de l'équation différentielle $(E): y' = -0{,}035y + 0{,}91$ où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0\,;\,+\infty[$.

On note $T'$ la fonction dérivée de la fonction $T$.

On suppose qu'au début de l'étude, la température de la pièce est de 18 °C. Ainsi $T(0) = 18$.

1.

Donner les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $[0\,;\,+\infty[$.

2.

En déduire que pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$, on a: $T(t) = 26 - 8\mathrm{e}^{-0{,}035t}$.

3.

Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps la pièce atteindra la température de 20 °C. On exprimera le résultat en heures et minutes arrondi à la minute.

4.

Si une panne du système de chauffage l'empêche de s'éteindre lorsque la température de la pièce atteint 20 °C, la température de la pièce pourra-t-elle dépasser 28 °C selon ce modèle ? Justifier.