Exercice 4 - Partie A · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2026

1. Résoudre dans l'intervalle $[0 ; +\infty[$ l'équation différentielle $(E') : 2y' + 3y = 0$.

Réponse : Les solutions de $(E')$ sur $[0 ; +\infty[$ sont les fonctions $y$ définies par $y(t) = C\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}t}$, où $C \in \mathbb{R}$.

2. Démontrer que : « $g$ est solution de (E) » est équivalent à « $g - f$ solution de (E') ».

Réponse : Comme $f$ est solution de $(E)$, on a $2f'(t) + 3f(t) = 8\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}t}$. Alors : $$g \text{ est solution de } (E) \iff 2g'(t) + 3g(t) = 8\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}t} \iff 2g'(t) + 3g(t) = 2f'(t) + 3f(t)$$ Ce qui équivaut par linéarité de la dérivation à : $$2(g'-f')(t) + 3(g-f)(t) = 0 \iff 2(g-f)'(t) + 3(g-f)(t) = 0$$ C'est-à-dire que $g - f$ est solution de $(E')$.