Exercice 4 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2025 (jour 1)

Énoncé

EXERCICE 4 [5 points]

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ .

On considère les points $A(2\sqrt{3}; 0; 0)$ , $B(0; 2; 0)$ , $C(0; 0; 1)$ et $K\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{3}{2}; 0\right)$ .

Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(CK)$ est:

$\begin{cases} x = \frac{\sqrt{3}}{2}t \\ y = \frac{3}{2}t \\ z = -t + 1 \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$

Soit $M(t)$ un point de la droite $(CK)$ paramétrée par un réel $t$ .

Établir que $OM(t) = \sqrt{4t^2 - 2t + 1}$ .

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = OM(t)$ .

Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

En déduire la valeur de $t$ pour laquelle $f$ atteint son minimum.

En déduire que le point $H\left(\frac{\sqrt{3}}{8}; \frac{3}{8}; \frac{3}{4}\right)$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur la droite $(CK)$ .

Démontrer, à l'aide de l'outil produit scalaire, que le point $H$ est l'orthocentre ( intersection des hauteurs d'un triangle) du triangle $ABC$ .

Démontrer que la droite $(OH)$ est orthogonale au plan $(ABC)$ .

En déduire une équation du plan $(ABC)$ .

Calculer, en unité d'aire, l'aire du triangle $ABC$ .

Énoncé: Exercice 4 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2025 (jour 1)

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite (CK) est...

Réponse : La droite $(CK)$ passe par $C(0; 0; 1)$ et admet pour vecteur directeur $\vec{CK}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{3}{2}; -1\right)$ .

2. Établir que OM(t) = √(4t² - 2t + 1).

Réponse : $OM(t) = \sqrt{4t^2 - 2t + 1}$

3. a. Étudier les variations de la fonction f sur R.

Réponse : $f$ est décroissante sur $\left]-\infty; \frac{1}{4}\right]$ puis croissante sur $\left[\frac{1}{4}; +\infty\right[$ .

3. b. En déduire la valeur de t pour laquelle f atteint son minimum.

Réponse : 1/4

4. En déduire que le point H(√3/8; 3/8; 3/4) est le projeté orthogonal du point O sur la droite (CK).

Réponse : $H\left(\frac{\sqrt{3}}{8}; \frac{3}{8}; \frac{3}{4}\right)$

5. Démontrer, à l'aide de l'outil produit scalaire, que le point H est l'orthocentre du triangle ABC.

Réponse : $\vec{BC} \cdot \vec{AH} = 0$ et $\vec{AC} \cdot \vec{BH} = 0$ , donc $H$ est l'intersection de deux hauteurs.

6. a. Démontrer que la droite (OH) est orthogonale au plan (ABC).

Réponse : $\vec{AB} \cdot \vec{OH} = 0$ et $\vec{AC} \cdot \vec{OH} = 0$ , donc $(OH) \perp (ABC)$ .

6. b. En déduire une équation du plan (ABC).

Réponse : $\sqrt{3}x + 3y + 6z = 6$

7. Calculer, en unité d'aire, l'aire du triangle ABC.

Réponse : 4

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