Exercice 4 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2022 (jour 1)

EXERCICE 4 (7 points) [Géométrie dans l'espace]

Dans la figure ci-dessous, $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle tel que $AB = 5$, $AD = 3$ et $AE = 2$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé d'origine $A$ dans lequel les points $B$, $D$ et $E$ ont respectivement pour coordonnées $(5;0;0)$, $(0;3;0)$ et $(0;0;2)$.

1. a.

Donner, dans le repère considéré, les coordonnées des points $H$ et $G$.

1. b.

Donner une représentation paramétrique de la droite $(GH)$.

2.

Soit $M$ un point du segment $[GH]$ tel que $\vec{HM} = k\vec{HG}$ avec $k$ un nombre réel de l'intervalle $[0;1]$.

2. a.

Justifier que les coordonnées de $M$ sont $(5k;3;2)$.

2. b.

En déduire que $\vec{AM}\cdot\vec{CM} = 25k^2 - 25k + 4$.

2. c.

Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles $AMC$ est un triangle rectangle en $M$.

Dans toute la suite de l'exercice, on considère que le point $M$ a pour coordonnées $(1;3;2)$.

On admet que le triangle $AMC$ est rectangle en $M$.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $\frac{1}{3}\times\text{Aire de la base}\times h$ où $h$ est la hauteur relative à la base.

3.

On considère le point $K$ de coordonnées $(1;3;0)$.

3. a.

Déterminer une équation cartésienne du plan $(ACD)$.

3. b.

Justifier que le point $K$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $(ACD)$.

3. c.

En déduire le volume du tétraèdre $MACD$.

4.

On note $P$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AMC)$.

Calculer la distance $DP$; en donner une valeur arrondie à $10^{-1}$.