Exercice 4 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2022 (jour 2)

EXERCICE 4 (7 points) [Géométrie dans l'espace]

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(0; 8; 6)$, $B(6; 4; 4)$ et $C(2; 4; 0)$.

1. a.

Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

1. b.

Montrer que le vecteur $\vec{n}(1; 2; -1)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

1. c.

Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

2. Soient $D$ et $E$ les points de coordonnées respectives $(0; 0; 6)$ et $(6; 6; 0)$.

2. a.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DE)$.

2. b.

Montrer que le milieu $I$ du segment $[BC]$ appartient à la droite $(DE)$.

3. On considère le triangle $ABC$.

3. a.

Déterminer la nature du triangle $ABC$.

3. b.

Calculer l'aire du triangle $ABC$ en unité d'aire.

3. c.

Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$.

3. d.

En déduire une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ arrondie à 0,1 degré.

°

4. On considère le point $H$ de coordonnées $\left(\frac{5}{3}; \frac{10}{3}; -\frac{5}{3}\right)$.

Montrer que $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$.

En déduire la distance du point $O$ au plan $(ABC)$.