Exercice 2 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2023 (jour 2)

EXERCICE 2 (5 points)

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$, on considère les points:

$$A(1; 1; -4), \quad B(2; -1; -3), \quad C(0; -1; -1) \quad \text{et} \quad \Omega(1; 1; 2).$$

1.

Démontrer que les points A, B, et C définissent un plan.

2. a.

Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC).

2. b.

Justifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est $x + y + z + 2 = 0$.

3. a.

Justifier que le point $\Omega$ n'appartient pas au plan (ABC).

3. b.

Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan (ABC).

On admet que $\Omega H = 2\sqrt{3}$. On définit la sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{3}$ comme l'ensemble de tous les points M de l'espace tels que $\Omega M = 2\sqrt{3}$.

4.

Justifier, sans calcul, que tout point N du plan (ABC), distinct de H, n'appartient pas à la sphère $\mathcal{S}$.

On dit qu'un plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $\mathcal{S}$ en un point K lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées: $K \in \mathcal{P} \cap \mathcal{S}$

$(\Omega K) \perp \mathcal{P}$

5.

Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x + y - z - 6 = 0$ et le point K de coordonnées $K(3; 3; 0)$. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $\mathcal{S}$ au point K.

6.

On admet que les plans (ABC) et $\mathcal{P}$ sont sécants selon une droite $(\Delta)$.

Déterminer une équation paramétrique de la droite $(\Delta)$.