Exercice 4 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2024 (jour 1)

EXERCICE 4 (5 points)

L'objectif de cet exercice est de déterminer la distance entre deux droites non coplanaires.

Par définition, la distance entre deux droites non coplanaires de l'espace, $(d_1)$ et $(d_2)$ est la longueur du segment $[\mathrm{EF}]$, où $\mathrm{E}$ et $\mathrm{F}$ sont des points appartenant respectivement à $(d_1)$ et à $(d_2)$ tels que la droite $(\mathrm{EF})$ est orthogonale à $(d_1)$ et à $(d_2)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

Soit $(d_1)$, la droite passant par $A(1; 2; -1)$ de vecteur directeur $\vec{u_1}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $(d_2)$ la droite dont une représentation paramétrique est:$$\begin{cases} x = 0 \\ y = 1 + t, & t \in \mathbb{R}. \\ z = 2 + t \end{cases}$$

1.

Donner une représentation paramétrique de la droite $(d_1)$.

2.

Démontrer que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont non coplanaires.

3.

Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A$ et dirigé par les vecteurs non colinéaires $\vec{u_1}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Justifier qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est: $-2x + y + 5z + 5 = 0$.

4. a.

Sans chercher à calculer les coordonnées du point d'intersection, justifier que la droite $(d_2)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants.

4. b.

On note $\mathrm{F}$ le point d'intersection de la droite $(d_2)$ et du plan $\mathcal{P}$. Vérifier que le point $\mathrm{F}$ a pour coordonnées $\left(0; -\frac{5}{3}; -\frac{2}{3}\right)$.

Soit $(\delta)$ la droite passant par $\mathrm{F}$ et de vecteur directeur $\vec{w}$. On admet que les droites $(\delta)$ et $(d_1)$ sont sécantes en un point $\mathrm{E}$ de coordonnées $\left(-\frac{2}{3}; -\frac{4}{3}; -1\right)$.

5. a.

Justifier que la distance $\mathrm{EF}$ est la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.

5. b.