Exercice 1 - Partie B · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2024 (jour 1)

Thème : Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Tiré du sujet Jour 1 (2024)

Énoncé

EXERCICE 1 (5 points)

PARTIE A

On considère l'équation différentielle (E):y′+14y=20e−14x(E): y' + \frac{1}{4}y = 20\text{e}^{-\frac{1}{4}x}, d'inconnue yy, fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[.

PARTIE B

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[ par f(x)=(20x+8)e−14xf(x) = (20x + 8)\text{e}^{-\frac{1}{4}x}.

On admet que la fonction ff est dérivable sur l'intervalle [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[ et on note f′f', sa fonction dérivée sur l'intervalle [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[. De plus, on admet que lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.

1.a.

Justifier que, pour tout réel xx positif, f′(x)=(18−5x)e−14xf'(x) = (18 - 5x)\text{e}^{-\frac{1}{4}x}.

1.b.

En déduire le tableau de variations de la fonction ff. On précisera la valeur exacte du maximum de la fonction ff sur l'intervalle [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[.

2.a.

Dans cette question on s'intéresse à l'équation f(x)=8f(x) = 8. Justifier que l'équation f(x)=8f(x) = 8 admet une unique solution, notée α\alpha, dans l'intervalle [14 ; 15][14\,;\,15].

2.b.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre, écrite en langage Python:

from math import exp

def f(x):

return (20*x+8)*exp(-1/4*x)

def solution_equation():

a,b = 14,15

while b-a > 0.1:

m = (a+b)/2

if f(m) > 8:

a = m

else:

b = m

return a,b

aa

14

bb

15

b−ab - a

1

mm

14,5

Condition f(m)>8f(m) > 8

FAUX

2.c.

Quel est l'objectif de la fonction solution_equation dans le contexte de la question ?

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. a. Justifier que, pour tout réel x positif, f'(x) = (18 - 5x)e^(-1/4 x).

Réponse : f′(x)=20e−14x−14(20x+8)e−14x=(18−5x)e−14xf'(x) = 20\text{e}^{-\frac{1}{4}x} - \frac{1}{4}(20x + 8)\text{e}^{-\frac{1}{4}x} = (18 - 5x)\text{e}^{-\frac{1}{4}x}

1. b. Point x où le maximum est atteint :

Réponse : 3,6

1. b. Valeur exacte du maximum de la fonction f sur l'intervalle [0 ; +∞[ :

Réponse : 80e−0,980\text{e}^{-0{,}9}

2. a. Justifier que l'équation f(x) = 8 admet une unique solution, notée α, dans l'intervalle [14 ; 15].

Réponse : Sur [14 ; 15][14\,;\,15], ff est continue et strictement décroissante. f(14)≈8,69>8f(14) \approx 8{,}69 > 8 et f(15)≈7,24<8f(15) \approx 7{,}24 < 8, donc par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α∈[14 ; 15]\alpha \in [14\,;\,15].

2. b. Tableau complété de l'algorithme Python :

Réponse :

2. c. Quel est l'objectif de la fonction solution_equation dans le contexte de la question ?

Réponse : Déterminer un encadrement ou une valeur approchée de la solution α\alpha de l'équation f(x)=8f(x) = 8 par dichotomie avec une précision de 0,1.

2.b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre (valeur de a, étape 4)

Réponse : 14.4375

2.b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre (valeur de b, étape 1)

Réponse : 14.5

2.b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre (valeur de b, étape 2)

Réponse : 14.5

2.b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre (valeur de b, étape 3)

Réponse : 14.5

2.b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre (valeur de b, étape 4)

Réponse : 14.5

2.b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre (valeur de b - a, étape 1)

Réponse : 0.5

2.b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre (valeur de b - a, étape 2)

Réponse : 0.25

2.b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre (valeur de b - a, étape 3)

Réponse : 0.125

2.b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre (valeur de b - a, étape 4)

Réponse : 0.0625

2.b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre (valeur de m, étape 1)

Réponse : 14.25

2.b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre (valeur de m, étape 2)

Réponse : 14.375

2.b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre (valeur de m, étape 3)

Réponse : 14.4375

2.b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre (Condition f(m) > 8, étape 1)

Réponse : VRAI / TRUE / V / T

2.b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre (Condition f(m) > 8, étape 2)

Réponse : VRAI / TRUE / V / T

2.b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre (Condition f(m) > 8, étape 3)

Réponse : VRAI / TRUE / V / T

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