Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2022 (jour 1)

EXERCICE 3 (7 points) [Fonctions, fonction logarithme]

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $g(x)=1+x^2(1-2\ln(x))$.

La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.

PARTIE A

1.

Justifier que $g(\mathrm{e})$ est strictement négatif.

2.

Justifier que $\lim_{x\to +\infty} g(x) = -\infty$.

3. a.

Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$, $g'(x) = -4x\ln(x)$.

3. b.

Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.

3. c.

Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $[1;+\infty[$.

3. d.

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

$< \alpha <$

4.

Déduire de ce qui précède le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $[1;+\infty[$.

PARTIE B

1.

On admet que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1;\alpha]$, $g''(x)=-4(\ln(x)+1)$. Justifier que la fonction $g$ est concave sur l'intervalle $[1;\alpha]$.

2.

Sur la figure ci-contre, $A$ et $B$ sont les points de la courbe $\mathscr{C}$ d'abscisses respectives $1$ et $\alpha$.

2. a.

Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$.

2. b.

En déduire que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[1;\alpha]$, $$g(x) \ge \frac{-2}{\alpha-1}x + \frac{2\alpha}{\alpha-1}.$$