Exercice 4 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2023 (jour 2)

EXERCICE 4 (5 points)

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln(1 + \mathrm{e}^{-x}) + \dfrac{1}{4}x$.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ du plan.

Partie A

1.

Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

2.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

a.

Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x - 3}{4(\mathrm{e}^x + 1)}$.

b.

En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

c.

Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[2; 5]$.

Partie B

On admettra que la fonction $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $f''(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{(1+\mathrm{e}^x)^2}$.

On note $\Delta$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.

Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $\Delta$ et le quadrilatère $MNPQ$ tel que $M$ et $N$ sont les deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$, et $Q$ et $P$ sont les deux points de la droite $\Delta$ d'abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$.

1. a.

Justifier le signe de $f''(x)$ pour $x \in \mathbb{R}$.

1. b.

En déduire que la portion de la courbe $\mathcal{C}_f$, sur l'intervalle $[-\alpha; \alpha]$, est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.

2. a.

Montrer que $f(-\alpha) = \ln(\mathrm{e}^{-\alpha} + 1) + \dfrac{3}{4}\alpha$.

2. b.

Démontrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.